Квантификация предикатов.

Навешивание квантора на предикат уменьшает в нем число свободных переменных и превращает его предикат от меньшего числа переменных.

Пример.

Пример.

Пример.

- высказывания, истинностное значение которых обусловлено универсумом рассмотрения М.

Примечание.

1. формулы вида х_i Pⁿ(x₁, x₂,…, х_i,…, x_n) часто называют экзистенциональной квантификацией формул Pⁿ(x₁, x₂,…, х_i,…, x_n) относительно х_i, а формулы вида х_i Pⁿ(x₁, x₂,…, х_i,…, x_n) – универсальной квантификацией формулы Pⁿ(x₁, x₂,…, х_i,…, x_n) относительно х_i.

2. Высказывание хP(х)=u, если предикат Р(х) является тождественно-истинным, а хP(х)=u, если предикат Р(х) – выполним.

3. Если предметная область М предиката конечна, то его универсальная и экзистенциональная квантификации являются соответственно обобщением конъюнкции и дизъюнкции всех формул P(а_i) (где а_i М), т.е. имеем равносильности:

4. Равносильные выражения

хР(х)=хР(х),

 хР(х)=хР(х), т.е. взаимовыразимость кванторов означает, что один квантор определяет сокращенную запись другим. Именно поэтому в логике предикатов первого уровня достаточно только один из кванторов.