Концептуальный базис математической логики.

С синтаксической точки зрения в математической логике различают символы переменных, термов и формул, а с семантической точки зрения – высказываний, терминов, предикатов и логических операторов. Поясним эти символы с помощью дерева:

Основные понятия математической логики

Здесь: А. Высказывание – абстракция осмысленного повествовательного предложения естественного языка, для которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (это пояснение, а не определение, понятие “высказывание” в классической логике).

• Простые высказывания.

Примеры:

1. Вычислительная система есть программно-аппаратный комплекс.

2. 57=35

Эти два предложения являются простыми (атомарными, элементарными) истинными высказываниями.

Примеры:

3. 3

4. Волк есть дикая кошка.

Эти два простых высказывания являются ложными.

5) Денис скоро будет космонафтом.(не высказывание,т.к. будущее время)

Предостережения:

• предложение “Всякий вечный двигатель работает без бензина ” и “ Земля вращается быстро ” не являются истинными, но в тоже время не являются и ложными. Поэтому эти предложения не являются высказываниями (очевидно, что первое предложение является бессмысленным, а второе – неопределенно-истинно);

• предложение Х+7=9 не является высказыванием, а есть высказывательная форма (при указании конкретного значения Х имеем высказывание).

Следует отметить, что всякое простое,бескванторное, категоричное высказывание имеет субъектно-предикатную структуру (т.е. логическую форму, способ содержательных частей) вида a  P ( или сокращенно P_(a)), где a – субъект (субъект указывает на тот объект, о котором идет речь в высказывании);

P – предикатный терм (предикатный терм, иначе, логическое сказуемое, указывает на свойство субъекта);

 - оператор предикации;

• Сложные высказывания.

Примеры:

1. Волга – самая короткая река России и в ней живут киты;

2. 3+7=9 аналогично 7+3=2

Эти два высказывания, каждое из которых составлено из двух простых ложных высказываний, являются сложными (составными, молекулярными) ложными высказываниями. Очевидно, что логические формы этих высказываний следующие:

P_1(a) P_2(a) или (a  P₁)  (a  P₂),

P_3(b) ~ P_4(b) или (b  P₃) ~ (b P₄),

Где: a, b – субъекты (соответственно: Волга и сумма чисел);

P_1, P_2, P_3, P₄ -предикатные символы (соответственно: самая короткая река; река, в которой живут киты; равно 9; равно 2);

 - логические связки (обозначающие соответственно “и” и “аналогично”),позволяющие строить из простых высказываний сложные.

• Метавысказывания – это высказывание, субъект которого указывает на другое высказывание.

Пример. Пусть имеем высказывание P_(a) , тогда высказывание “ P_(a) - ложно ” о высказывании P_(a) есть метавысказывание. Очевидно, на основе высказывания P_(a) можно построить неограниченное количество метавысказываний различной степени сложности. Так, например, метевысказыванием будет “высказывание “ P_(a) - ложно” - истинно”. Поскольку в математической логике сложное высказывания представляют замкнутой формулой, то высказывание о ее доказуемости (недоказуемости, выполнимости) является метавысказыванием. При этом в целях упрощения записи метавысказываний используются оператор логического

следования и оператор дедуктивной выводимости. Так, метевысказывание

___

“формула”P_(a) P_(a)”– тавтология” записывается символически|= (P_(a) P_(a)), аметавысказывание “ формула“ P_(a) P_(a)” –логически доказуема” записывается так|(P_(a) P_(a)).

Б. Терм – языковое выражение для обозначения некоторых эмпирических и абстрактных объектов. Термы строятся по определенным синтаксическим правилам в конкретном языке логики. Обычно термы задают с помощью логических переменных и терминов.

1. Логическая переменная – символ языка, обозначающий произвольный объект из некоторого фиксированного множества объектов. В читаемом курсе логическими переменными являются:

• предметная переменная – переменная, выражающая предмет(субъект, индивидный объект);

Примеры: 1) Х – студент группы “C”, т.е.P_(x) ,где

Х – субъект( на множестве студентов группы “C”;P - является студентом группы “C”

2) Х+3=5 т.е.P_(x) ,где х – числовая переменная(т.е. место для подстановки цифр, обозначающих конкретное число); P – является слагаемым уравнения 1-го порядка.

Р(2)-истинное высказывание.

3) Х сын Y,P_(x,y) , где x,y - прямые родственники, P - быть сыном.

Места,которые надо обозначить из множества родственников:

• пропозициональная переменная – переменная, значениями которой являются высказывания;

• лингвистическая переменная (в нечеткой логике) – переменная, значениями которой являются субъективные словесные оценки;

• предикатная переменная - переменная, значениями которой являются предикаты;

• метапеременная – переменная, вместо которой допускается подстановка других переменных определенного вида.

2. Термин – символ имени (именной формы) конкретного объекта. Различают термины:

• индивидные (предметные, субъектные) постоянные (константы);

• логические операторы (составляющие три подмножества – логические связи, такие как, кванторы, такие, как ; символы метавысказываний, а именно |=, |

• предикатные термины (двухместные отношения , ;

• истинностное значение – абстрактный объект, выступающий в качестве характеристического свойства высказывания (в классической логике ={U, }, а в неклассической - || >2; здесь  - множество истинностных значений для высказываний).

• Метатермин – термин для обозначения множества терминов.

В. Логическая функция – функциональное соответствие на множестве кортежей длины n>0, принимающее значение в множестве истинностных значений, т.е.

S_f : M₁ M₂ …  M_k

Различают однородные (пропозициональные) и неоднородные (предикатные) логические функции, т.е.

1. если M₁= M₂= … = M_n= , то ⁿ - однородная логическая функция (в частности, если || =2, то пишут f:{0,1}ⁿ{0,1}, или f: ВⁿВ и называют функциями алгебры логики).

2. Мⁿ - неоднородная логическая функция (в частности, Мⁿ{0,1} – двузначный n-местный предикат)

3. Метафункция - метаформулы.

Г. Логическая формула – языковое представление суперпозиции логических функций. В читаемом курсе будем различать формулы:

1. пропозициональную – правильно построенный кортеж из пропозициональных переменных и логических связок;

2. предикатную – правильно построенный кортеж предикатов, логических связок и кванторов;

3. метаформулу – кортеж метапеременных и логических операторов (т.е. метаформула есть логическая форма формул).

Примечание.

• Как правило, определение логической формулы имеет индуктивный характер:

  • Выделяется класс языковых выражений, называемых простыми (атомарными) формулами;

  • Указываются правило, позволяющее из уже построенных логических формул, строить новые логические формулы, используя логические операторы.

• формула, подобно терму и переменной, есть семантический объект на множестве языковых выражений и поэтому с синтаксической точки зрения должна быть алгоритмически разрешимой.