2.6. Некоторые свойства расширенных конечных полей

.

Теорема 2.6.1. Среди всех элементов расширенного поля только для элементов основного подполя , т.е. для 0 и 1, выполняется соотношение

.

Доказательство: Справедливость указанного соотношения для нулевого элемента поля очевидна. Среди всех ненулевых элементов поля мультипликативный порядок, равный единице, имеет лишь 1, что и завершает доказательство теоремы.

Теорема 2.6.2.Пусть – конечной поле характеристики . Тогда для любых элементов , , выполняется соотношение

.

Доказательство: Поскольку поле имеет характеристику, равную 2, то сомножитель в разложении бинома обращается в нуль. Следовательно

.

Данная теорема может быть обобщена на случай любого натурального и произвольного числа элементов :

.

Познакомимся теперь с еще одним важным определением.

Пусть . Тогда элементы поля вида

называются 2 – сопряженными с элементом .

Вследствие конечности поля последовательность, составленная из и 2 – сопряженных с ним элементов, имеет ограниченный набор отличающихся друг от друга элементов. Так, если все элементы вида

различны, а продолжение последовательности приводит к повторению какого-либо уже содержащегося в ней элемента, то

.

Можно доказать, что длина любой последовательности (цикла) 2–сопряженных элементов поля всегда делит степень расширения .

Следует отметить, что приведенные выше результаты могут быть обобщены на случай расширения любого недвоичного основного поля .