4.8. Несистематические бпф-укорочения

Порядок мультипликативной группы поля является составным числом n=255=3*5*17. Группа является циклической и порождается примитивным элементом α; она содержит 255 элементов: . Эта группа имеет циклические подгруппы порядка (делят ).

В таблице 1 приведены циклические подгруппы мультипликативной группы поля .

Таблица 1.

Циклические подгруппы мультипликативной группы поля

В основе несистематического кодирования укороченных РС-кодов лежит дискретное преобразование Фурье (ДПФ) на группе, образуемой ненулевыми элементами поля.

Кодовое слово задается как ДПФ информационного вектора cинформационными символами и нулями, где , а в качестве примитивного элемента выбран корень неприводимого многочлена .

Aлгоритм трехмерного ДПФ позволяет вычислить элементы кодового вектора по формуле:

(24)

Рассмотрим преобразование Фурье длины в поле . Элементами этого преобразование должны быть элементы подгруппы, образованной примитивным элементом (в соответствии с таблицей 1). Перекодируем укороченный вектор (вектор длины 51) в полный вектор (длины 255) таким образом, чтобы все координаты , для которых , были нулевыми. Практически это означает, что мы разместим укороченный вектор только в одной плоскости БПФ-куба там, где . Тогда формулу (24) можно переписать в виде:

(25)

А это означает переход к ДПФ с ядром для вектора . Преобразование Фурье вычисляется как значение многочлена в точках поля: , что эквивалентно работе в подгруппе с ядром : .

Очевидно, что для реализации БПФ-укорочения длины 85 с порождающим элементом из формулы (24) необходимо исключить суммирование по , что достигается путем размещения укороченного вектора в плоскости БПФ-куба там, где . Это означает переход к ДПФ с ядром для мультипликативной подгруппы порядка 85 с шагом 3.

(26)

Проводя аналогичные рассуждения можно построить формулы вычисления ДПФ для всех циклических подгрупп, указанных в таблице 1. Эти БПФ-укорочения можно применить для кодирования укороченными кодами Рида-Соломона над полем длин n=85,51,17,15,5,3.