1.4. Способы задания окружностей и их дуг

Окружности и их дуги являются наиболее употреби-тельными алгебраическими кривыми второго порядка. В графических системах они обычно являются стандартными графическими примитивами. Рассмотрим основные спосо-бы задания окружностей и их дуг.

1. Параметрический. В этом случае для дуги указыва-ется центр C(x₀,y₀), радиус r, начальный и конечный углы ₀, ₁ (Рис.1.1).

Точки на дуге в зависимости от значения параметра  определяют по формулам:

; . (1.7)

У полной окружности 0    . Обычно данный способ представления является основным и все другие сводят к нему.

Рис. 1.1

2. По центру C, начальной точке TН и углу  (Рис.1.2).

Рис. 1.2

Для перехода к параметрическому заданию рассчита-ем величины r и ₀ :

(1.8 а)

Если , то

. (1.8 б)

Если , то

. (1.8 в)

Конечный угол ₁ =₀ + .

3. По начальной T₁(x₁,y₁), средней T₂(x₂,y₂) и конечной T₃ (x₃,y₃) точкам дуги (Рис.1.3).

Рис. 1.3

Точки не должны лежать на одной прямой. При этом:

.

Пусть 0. Найдем C(x₀,y₀), r, ₀, ₁. Координаты центра С определим из системы двух уравнений:

.

Введя вспомогательные величины ₁ ² = х₁ ²+ у₁ ²; ₂ ² = х₂ ²+ у₂ ²; ₃ ² = х₃ ²+ у₃ ²; ₁₂ = ₁ ² -₂ ² , ₃₂ = ₃ ² -₂ ², можно представить в виде

, .