9. Канонический базис корневого подпространства. Матрица оператора в каноническом базисе.

- корневое подпространство , отвечающее собственному значению.

(сдвиг оператора)

.

Построим корневое подпространство .

Надо найти то , начиная с которого, при этом:= алгебраическая кратность

Строим базис , последовательно просматривая подпространства(в обратном порядке).

До :- векторы, дополняющие базисдо:

1) – корневые, высоты, т.к.;

2) количество ;

3) , т.к.;

4) никакая линейная комбинация не принадлежит. Такие векторы называются линейно независимыми над.

До : Построим- корневые, высоты, - линейно независимы над. Дополним эти векторы векторамитак, чтобы векторадополняли произвольный базисдо базиса

1) они корневые высоты ;

2) их количество ;

3) ;

4) они линейно независимы над .

До : Аналогично:- корневые, высоты.

Выполняя далее такие же построения в доходим до.

До :

- дополяют до базиса :

1) корневые высоты 1 – собственные;

2) их количество ;

3) ;

4) они линейно независимы.

Полученную за шагов систему векторов удобно объединить в таблицу, которую будем называть жордановой лестницей:

Теорема 9.1 Построенная система векторов образует базис корневого подпространства .

∎ а) количество векторов в системе:

б) система векторов линейно независима. От противного. Рассмотрим линейную комбинацию векторов и применим последовательно , где - корневые высоты , остальные слагаемые равны нулю, т.к. они корневые векторы высоты, следовательно,, в силу линейной независимости.∎

Нумерация базиса: по столбцам жордановой клетки снизу вверх, сами столбцы в произвольном порядке.

Полученный таким образом базис называется каноническим (или жордановым) базисом корневого подпространства .

1) Пусть - векторы первого столбца жордановой лестницы.

⟹⟹⟹.

Этой группе канонического базиса соответствуют первые столбцов матрицыв каноническом базисе, которые имеют вид:

.

–жорданова клетка.

Аналогично для второго столбца жордановой лестницы: диагональная клетка имеет тот же вид , остальные элементы равны нулю.

Число таких клеток .

2) Следующая группа из столбцов жордановой лестницы определяет клеткина главной диагонали матрицы; число таких клеток–го порядка.

3) Рассмотрим все столбцы жордановой лестницы, тогда матрица в каноническом базисе имеет вид:

.

Число клеток = числу столбцов в жордановой лестнице = - геометрической кратности корня.

- алгебраическая кратность корня.

Число клеток -того порядка:

.

Процесс построения канонического базиса однозначно определяет форму матрицы с точностью до порядка клеток, т.к. количество клеток =, а число клеток–го порядка

Практический способ построения жорданова базиса.

Пусть - собственное значение алгебраической кратности

1) Найдем - максимальную высоту корневого вектора:.– максимальный размер жордановой клетки, отвечающий данному.

2) Найдем начало цепочки: .

, восстанавливаем всю цепочку: (лучше начинать с, т.к., а потом находить остальные:).

3) Переходим к другому вектору, принадлежащему . Если число в этих цепочках меньше, то переходим к.