10. Жорданов базис и жорданова нормальная форма оператора.

Определение 10.1 Жордановой матрицей (или матрицей, имеющей жорданову нормальную форму) называется квазидиагональная матрица с клетками Жордана на главной диагонали. Жордановым базисом для называется базис пространства, в котором матрица оператораимеет жорданову нормальную форму.

Канонический базис корневого подпространства является жордановым для оператора, а– его жордановой матрицей.

Пример. Если - нильпотентный оператор (⟺ все )⟹ существует одно корневое подпространство ⟹ можно найти жорданов базис.

Решим задачу в общем виде.

Теорема 10.1 Пусть в комплексном пространстве, его характеристический многочлен имеет вид:. Тогда в ЛПсуществует базис, в котором матрица оператораимеет жорданову нормальную форму:

, где имеют вид- матрицы операторав каноническом базисе.

∎ Согласно Т8.1 (о расщеплении линейного оператора): .

В качестве исходного базиса возьмем совокупность канонических базисов корневых подпространств. Согласно Т1.2 матрица имеет вид, где- матрица оператора.∎

Замечание 1. Жорданова форма матрицы линейного оператора определена однозначно с точностью до порядка клеток Жордана.

Замечание 2. Для операторов простой структуры, и только для них, жорданова форма совпадает с диагональной: .

Приведение матрицы к жордановой форме.

Т.10.1 ⟺ любая квадратичная комплексная матрица эквивалентна матрице, имеющей жорданову форму.

Определение 10.2 Жорданова матрица, эквивалентная матрице , называетсяжордановой нормальной формой матрицы .

Теорема 10.2 Две матрицы эквивалентны⟺ их жордановы формы совпадают.

Привести к жордановой нормальной форме значит найти невырожденную матрицу и жорданову формутакие, что, где- матрица перехода от исходного базиса к жорданову.