13. Инвариантные подпространства минимальной размерности.

Теорема 13.1 У всякого линейного оператора в комплексном пространстве существует одномерное инвариантное подпространство.

∎ У над, существует хотя бы один собственный вектор,- одномерное подпространство, инвариантное относительно.∎

Теорема 13.2 У всякого л.о. над(в вещественном пространстве) существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

∎ - вещественное пространство; - базис в.

.

–многочлен с вещественными коэффициентами. Пусть - корень.

1. , - собственное значение- собственный вектор, отвечающий с.з.,⟹ - одномерное подпространство, инвариантное относительно.

2. - тоже корень характеристического уравнения. Рассмотрим как комплексную матрицу. Если- собственный вектор -столбец, отвечающий с.з., то

Векторы и- линейно независимы, как собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям.

Пусть ,⟹

⟹

и - линейно независимы.

В векторной форме будем иметь. Пусть . Системе уравнений длясоответствует система векторных уравнений:

где - одновременно не обращаются в(линейно независимы). Следовательно,- инвариантное подпространство, и.∎

Вещественный аналог жордановой формы.

в вещественном пространстве ,– многочлен с вещественными коэффициентами. Если, томожно рассмотреть как комплексную матрицу⟹ существуют жордановы клетки с ипо главной диагонали. Рассмотрим, порождающие клетку.

Обозначим для:.

Если

⟹ ⟺

;

векторы - столбцы - линейно независимы.

Таким образом, любой комплексный корень (не вещественный) порождает матрицу порядка :

(13.1)

в базисе подпространства, соответствующем координатным столбцам .

Теорема 13.3 Для любого надсуществует базис, в котором матрица оператора имеет квазидиагональную форму с вещественными клетками Жордана и вещественными клетками вида (13.1) на главной диагонали.

1. 21