8. Корневые векторы и их простейшие свойства. Корневые подпространства.

Определение 8.1 Пусть - собственное значение оператора𝒜. Вектор называетсякорневым вектором оператора , отвечающим собственному значению, еслипри некотором.Высотой корневого вектора называется наименьшее , обладающее указанным свойством. Высотаи толькоравна 0.

Простейшие свойства корневых векторов.

1. Корневые векторы высоты 1 являются собственными векторами: .

2. Если - корневой вектор высоты, то вектор- корневой высоты.

3. Корневые векторы различных высот линейно независимы. (Доказательство аналогично доказательству Т7.1).

4. Если - корневой вектор высоты, то: 1)- линейно независимы; 2) высота корневого вектора не превосходит размерности пространства.

Определение 8.2 Корневые векторы высоты называютсяприсоединенными векторами -го порядка.

Итак, если – присоединенный векторго порядка, тоили вектор- собственный вектор оператора, отвечающий собственному значению.

Таким образом, корневой вектор – это либо нулевой вектор, либо собственный, либо присоединенный.

Определение 8.3 Множество всех корневых векторов оператора , отвечающих собственному значению, называетсякорневым подпространством оператора , отвечающим собственному значению:.

Опишем структуру корневого подпространства .

1) Сдвиг оператора .Рассмотрим(выполним сдвиг оператора на).

Лемма 1. Собственные значения операторов исвязаны соотношением:.

Лемма 2. Если - характеристический многочлен, то- характеристический многочлен.

Лемма 3. Если подпространство инвариантно относительно оператора, то оно инвариантно и относительно оператора.

∎ Если , т.е. . ∎

2) Разложение оператора в прямую сумму нильпотентного и обратимого операторов.

Из следует, что- вырожденный оператор (имеет нулевое собственное значение), но не нильпотентный (т.к. имеет ненулевое собственное значение). Применим Т7.3.

Пусть , то,- инвариантны относительнои оператор- нильпотентный,- обратимый.

3) Структура корневого подпространства.

Рассмотрим .

а) – состоит из корневых векторов высоты, т.е. совпадает с собственным подпространством:– геометрическая кратность.

б) – состоит из корневых векторов высоты, …– состоит из корневых векторов высоты, (всех высот)- максимальная высота корневого вектора, отвечающего собственному значению, и, следовательно, цепочка имеет вид.

а) - инвариантно относительно(т.к. инвариантно относительно(лемма 3);

б) если , то характеристический многочленимеет вид;

в) (следствие 3 Т7.3).

Замечание. Из цепочки следует, что максимальная высотакорневых подпространств, отвечающих собственному значению, совпадает с индексом нильпотентности оператора

Теорема 8.1 (о расщеплении линейного оператора) Если - линейный оператор, действующий в комплексном пространствеи- его характеристический многочлен, то пространстворазлагается в прямую сумму его корневых подпространств:.

∎ По индукции по ..

Пусть теорема верна для оператора, имеющего различных собственных значений. Докажем для.

Выделим корневое подпространство . Обозначим;- инвариантно относительно⟹ (лемма 3) - инвариантно относительно.

⟹имеет различных собственных значений, следовательно, по индукции для него.∎

Следствие 1. Ненулевые корневые векторы оператора, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы

Следствие 2. Для в комплексном пространстве, существует базис, в котом его матрица имеет квазидиагонаьную форму, у которой число диагональных клеток совпадает с числом различных собственных значений, а их размеры – с алгебраической кратностью собственных значений, или, в матричной формулировке, любая квадратная комплексная матрицаэквивалентная квазидиагональной матрице, обладает указанными выше свойствами.