6. Треугольная форма матрицы линейного оператора.

Теорема 6.1 В –мерномкомплексном линейном пространстве для любого линейного операторасуществует системавложенных друг в друга инвариантных подпространств всех размерностей от 1 до, таких , что, где.

∎(по индукции)

- очевидно.

Пусть утверждение верно для ЛП размерности . Докажем для ЛП.

Лемма. Линейный оператор, действующий в мерномкомплексном пространстве, обладает инвариантным подпространством размерности .

Доказательство леммы. Линейный оператор, действующий в ЛП , имеет собственное значениеПусть- собственный вектор, отвечающий собственному значению⟺ ⟹ существует ЛПП , которое содержит. Покажем, чтоинвариантно относительно л.о.Лемма доказана.

Итак, л.о. , действующий вимеет инвариантное подпространстворазмерности.

Индуцированный оператор действует в пространстве размерностьюи, следовательно согласно предположению индукции существует система вложенных подпространств.

Так как действия операторов инасовпадают, тоинвариантны относительно. Следовательно,.∎

Теорема 6.2 Для любого л.о. , действующего вкомплексном ЛП, существует базис, в котором матрица линейного оператора имеет треугольную форму.

∎ Из Т6.1 ⟹ для л.о. существует система. Строим искомый базис:- базис в;- дополнениедо базиса; …дополнениедо…. В силу инвариантностиимеет верхнюю треугольную форму.∎

Замечание. На главной диагонали стоят собственные значения оператора.

Теорема 6.3 Любая квадратная комплексная матрица эквивалентна матрице, имеющей треугольную форму.