12. Функции от матриц (линейных операторов).

Одно из важных приложений жордановой формы – вычисление функции от матриц (от линейных операторов). В п.11 определили - многочлен от матрицы. Еслипривести к- жордановой форме, то, где- вычисляется просто, а- не зависит от (зависит от).

Как определить функцию от матрицы?

Пусть - собственные значения(спектр матрицы– всевещественны). – максимальный размер жордановой клетки.

Определение 12.1 Пусть - числовая функция. Говорят, чтоопределена на спектре матрицы, если существуют значения:, которые называются значениями на спектре матрицы.

Замечание 1. Любой многочлен определен на спектре матрицы.

Определение 12.2 Пусть - функция, определенная на спектре матрицы. Пусть- многочлен, значения которого на спектре матрицысовпадают с соответствующими значениями. Положим по определению.

.

Существует много многочленов, совпадающих с данной функцией на спектре матрицы. Среди них выделим так называемый интерполяционный многочлен Лагранжа – Сильвестра.

Определение 12.3 Пусть определена на спектре матрицы. Многочленстепени меньшей, чем степень минимального многочлена матрицы, и совпадающий на спектре матрицыс функцией, называется интерполяционным многочленом Лагранжа – Сильвестра.

Обозначение: .

Замечание 2. Можно показать, что для любой определенной на спектре матрицы, интерполяционный многочленсуществует и единственен.

Рассмотрим применение жордановой формы матрицы и жорданова базиса к вычислению функции от матрицы.

Пример 1.

- минимальный (аннулирующий) многочлен ;

- собственное значение, - размер жордановой клетки.

Пусть определена на спектре матрицы, т.е. существуют значения. Интерполяционный многочлен Лагранжа – Сильвестра имеет вид:

.

(Степень многочлена меньше степени минимального многочлена и совпадает на спектре матрицы.) Из определения 12.2 следует, что

.

Пример 2.

- минимальный (аннулирующий) многочлен , где

;

Пусть определена на спектре матрицы, тогда

;

.

Отсюда вытекает способ вычисления функций от матриц.

Пусть определена на спектре матрицы,- жорданова форма этой матрицы:.

Тогда , где.