0) Основная теорема алгебры.

Всякий отличный от константы многочлен вида:

с действительными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень в поле комплексных чисел.

1. Общие свойства числовых полей:

Для любых элементов а и в поля F определены их сумма а + в и произведение а x в. В поле существует нуль и единица.

2. Основная теорема алгебры по Эйлеру:

Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.

3. Теорема о достаточном условии монотонности

Если функция f(x) дифференцируема в промежутке X и f'(x)>0 (f'(x)<0) для всех xX , то f(x) возрастает (соответственно убывает) в промежутке X.

4. Следствие из основной теоремы алгебры:

Любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом кратности корней.

5. Лемма Д'Аламбера

Если для какого-нибудь x   f(x)≠0, где f(x) - многочлен степени ≥1 , то найдется точка x₁ такая, что |f(x₁)|<|f(x)|.

6. Общие свойства числовых полей:

Для любого числового поля F справедливы тождества:

а + в = в + а (ав)с = а(вс)

(а + в)+ с = а+(в + с) а x 1= а

а + 0 = а а x 1/а = 1

а + (-а) = 0 а(в + с) = ав + ас

ав = ва

7. Теорема о производной

Функция y = f(x) имеет в точке x (конечную) производную в том и только в том случае, если она дифференцируема в этой точке. При этом верно равенство

8. Общие свойства числовых полей:

Для любого числа а из поля F в F есть противоположное ему число –а, а если а ≠ 0, то и обратное ему число 1/а.

9. Теорема о достаточном условии выпуклости вверх и вниз

Если функция f(x) дифференцируема дважды в интервале X и в ней f''(x) >0 (f''(x) <0), то f(x) является выпуклой вниз (соответственно выпуклой вверх) в интервале X.