logo
Л-я вышмат 3-4

Уравнения с разделяющимися переменными. Математические модели экономического роста

Определение 1. Уравнение, вида

, (1)

коэффициенты которого при и- произведение функции только отна функцию только от, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Считая, что ,, делим обе части (11) на

З а м е ч а н и е 1. Случай ,исследуется дополнительно.

Пример 1.Решить уравнение

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим на, считая , что.

- (2)

общий интеграл. Рассмотрим теперь и.

Получим решения уравнения (легко проверить непосредственной подстановкой в уравнение) и. Но эти же решения получаются из (12) при. Следовательно ответ:.

З а м е ч а н и е 2. Частный случай уравнения (1).

Пример 2.Найти функцию, имеющую постоянную эластичность, равную к.

Решение. По определению эластичность функции равна, тогда по условию задачи получим:дифференциальное уравнение с разделяющимися производными:

.

Интегрируя обе части полученного равенства, находим:

Откуда следует, что .

Пример из экономики. Построить модель естественного роста ( рост при постоянном темпе).

Решение: обозначим- интенсивность выхода продукции некоторого предприятия (отрасли). Мы будем предполагать, что имеет место аксиома о ненасыщенности потребителя, т.е. что весь выпущенный товар будет продан, а также то, что объем продаж не является столь высоким, чтобы существенно повлиять на цену товара, которую будем считать фиксированной. Чтобы увеличить интенсивность выпуска, необходимо, чтобы чистые инвестиции(т.е. разность между общим объемом инвестиции и амортизированными затратами) были больше нуля. В случаеобщие инвестиции только лишь покрывают затраты на амортизацию, и уровень выпуска продукции остается неизменным. Случайприводит к уменьшению основных фондов и, как следствие, к уменьшению уровня выпуска продукции. Таким образом, скорость увеличении интенсивности выпуска продукции является возрастающей функцией от.

Пусть эта зависимость выражается прямой пропорциональностью, т.е. имеет место так называемый принцип акселерации

,

где - норма акселерации. Пусть- норма чистых инвестиций, т.е. часть дохода, которая тратится на чистые инвестиции, тогда. Обозначая, окончательно получим ДУ:

.

Интегрируя данное ДУ с разделяющимися переменными, найдем общее его решение:

.

При начальном условии , найдем частное решение.

Это решение называется уравнением естественного роста. Оно описывает динамику роста цен при постоянном темпе инфляции.