14. Ознаки збіжності додатніх рядів

Сформулюємо дві ознаки збіжності додатніх рядів, що ґрунтуються на порівнянні рядів між собою. Ці ознаки полягають в порівнянні членів досліджуваного ряду з членами іншого ряду, поведінка якого вже вияснена.

1. Нехай 1)

І 2)

- два додатніх ряди, причому члени першого, починаючи з деякого місця, не більші відповідних членів другого:. Тоді, якщо ряд (2) збігається, то збігається і ряд (1), якщо ж ряд (1) розбігається, то розбігається і ряд (2) ( із збіжності ряду з більшими членами випливає збіжність ряду з меншими членами, із розбіжності ряду з меншими членами випливає розбіжність ряду з більшими членами).

2. Якщо ряди (1) і (2) строго додатні і границя відношення їх загальних членів є обмежене додатнє числото ряди (1) і (2) збігаються або розбігаються одночасно.

В багатьох випадках для порівняння досліджуваного ряду зручно використовувати ряди видуМи будемо називати такі ряди гармонійними, хоч частіше цю назву відносять лише до рядуПізніше ми розглянемо ознаки збіжності, з допомогою яких можна буде показати, що гармонійні ряди збігаються при>1 і розбігаються при 0<≤1

Розглянемо декілька прикладів.

Приклад 1. При всіхочевидна нерівність<Оскільки ряд з більшими членамизбігається, то за ознакою 1 збігається і розглядуваний ряд.

(ознака Даламбера). Якщо для рядуз додатними членамиіснує границя тоді:

приряд збігається;

приряд розбігається;

при питання про збіжність ряду ознака не вирішує.