logo
Методика изучения многочленов на факультативных занятиях в старших класса средней общеобразовательной школе

§4. Метод неопределённых коэффициентов

Даны многочлен: Px(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1·x+an степени n и Tm(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1·x+bm степени m (mn).

Положим частное qn-m(x)=xn-m+c1xn-m-1+…+cn-m (1)

и остаток rl(x)=d0xm-1+d1xm-2+…+dm-1, (2)

где числа c1, c2, …,cn-m и d0, …,dm-1 не определены.

Напишем тождественное равенство

Pn(x)=Tm(x)·qn-m(x)+rl(x). (3)

Перемножая многочлены Tm(x) и qn-m(x) и приводя подобные члены, в правой части равенства (3) получим многочлен n-ой степени, который записывается в каноническом виде. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х этого многочлена и многочлена Pn(x), получим систему n уравнений, решая которую находим числа c1, c2, …,cn-m, d0, d1,…,dm-1.

Если окажется, что все числа d0, d1, …,dm-1 равны нулю, то это означает, что многочлен Pn(x) делится нацело на многочлен Tm(x). Если хотя бы один из коэффициентов d0, d1, …, dm-1 отличен от нуля, то многочлен Pn(x) делится на многочлен Tm(x) с остатком, при этом степень остатка l равна максимальной степени одночлена от x правой части (2), при котором коэффициент не равен нулю.

Пример. Разделить многочлен 2x4+x3-5x2-x+1 на многочлен x2-x.

Решение. Ищем частное от деления многочленов в виде многочлена q2(x)=2x2+c1x+c2, а остаток в виде многочлена r1(x)=d0x+d1. Имеем тождественное равенство 2x4+x3-5x2-x+1=(2x2+c1x+c2)·(x2-x)+d0x+d1. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем 2x4+x3-5x2-x+1=2x4+(c1-2)·x3+(-c1+c2)·x2+(d0-c2)·x+d1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, имеем систему

c1-2=1,

-c1+c2=-5,

d0-c2=-1,

d1=1,

откуда c1=3, c2=-2, d0=-3, d1=1.

Следовательно, q2(x)=2x2+3x-2, а r1(x)=-3x+1, т.е.

2x4+x3-5x2-x+1=(2x2+3x-2)·(x2-x)-3x+1.

Пример. Разделить многочлен -12x6+4x5-3x4+4x3+8x2-1 на многочлен x2+1.

Решение. Ищем частное от деления многочленов в виде многочлена q4(x)=-12x4+c1·

x3+c2x2+c3x+c4, а остаток в виде многочлена r1(x)=d0x+d1. Имеем тождественное равенство

-12x6+4x5-3x4+4x3+8x2-1=(-12x4+c1x3+c2x2+c3x+c4)·(x2+1)+d0x+d1, или

-12x6+c1x5+(c2-12)·x4+(c3+c1)·x3+(c4+c2)·x2+(c3+d0)·x+c4+d1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему:

откуда c1=4, c2=9, c3=0, c4=-1, d0=0, d1=0.

Следовательно, q4(x)=-12x4+4x3+9x3+9x2-1 и r1(x)=0, т.е.

многочлен -12x6+4x5-3x4+4x3+8x2-1 нацело делится на многочлен x2+1 и -12x6+4x5-3x4+4x3+8x2-1=(-12x4+4x3+9x2-1)·(x2+1).