§4. Метод неопределённых коэффициентов
Даны многочлен: Px(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1·x+an степени n и Tm(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1·x+bm степени m (mn).
Положим частное qn-m(x)=xn-m+c1xn-m-1+…+cn-m (1)
и остаток rl(x)=d0xm-1+d1xm-2+…+dm-1, (2)
где числа c1, c2, …,cn-m и d0, …,dm-1 не определены.
Напишем тождественное равенство
Pn(x)=Tm(x)·qn-m(x)+rl(x). (3)
Перемножая многочлены Tm(x) и qn-m(x) и приводя подобные члены, в правой части равенства (3) получим многочлен n-ой степени, который записывается в каноническом виде. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х этого многочлена и многочлена Pn(x), получим систему n уравнений, решая которую находим числа c1, c2, …,cn-m, d0, d1,…,dm-1.
Если окажется, что все числа d0, d1, …,dm-1 равны нулю, то это означает, что многочлен Pn(x) делится нацело на многочлен Tm(x). Если хотя бы один из коэффициентов d0, d1, …, dm-1 отличен от нуля, то многочлен Pn(x) делится на многочлен Tm(x) с остатком, при этом степень остатка l равна максимальной степени одночлена от x правой части (2), при котором коэффициент не равен нулю.
Пример. Разделить многочлен 2x4+x3-5x2-x+1 на многочлен x2-x.
Решение. Ищем частное от деления многочленов в виде многочлена q2(x)=2x2+c1x+c2, а остаток в виде многочлена r1(x)=d0x+d1. Имеем тождественное равенство 2x4+x3-5x2-x+1=(2x2+c1x+c2)·(x2-x)+d0x+d1. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем 2x4+x3-5x2-x+1=2x4+(c1-2)·x3+(-c1+c2)·x2+(d0-c2)·x+d1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, имеем систему
c1-2=1,
-c1+c2=-5,
d0-c2=-1,
d1=1,
откуда c1=3, c2=-2, d0=-3, d1=1.
Следовательно, q2(x)=2x2+3x-2, а r1(x)=-3x+1, т.е.
2x4+x3-5x2-x+1=(2x2+3x-2)·(x2-x)-3x+1.
Пример. Разделить многочлен -12x6+4x5-3x4+4x3+8x2-1 на многочлен x2+1.
Решение. Ищем частное от деления многочленов в виде многочлена q4(x)=-12x4+c1·
x3+c2x2+c3x+c4, а остаток в виде многочлена r1(x)=d0x+d1. Имеем тождественное равенство
-12x6+4x5-3x4+4x3+8x2-1=(-12x4+c1x3+c2x2+c3x+c4)·(x2+1)+d0x+d1, или
-12x6+c1x5+(c2-12)·x4+(c3+c1)·x3+(c4+c2)·x2+(c3+d0)·x+c4+d1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему:
откуда c1=4, c2=9, c3=0, c4=-1, d0=0, d1=0.
Следовательно, q4(x)=-12x4+4x3+9x3+9x2-1 и r1(x)=0, т.е.
многочлен -12x6+4x5-3x4+4x3+8x2-1 нацело делится на многочлен x2+1 и -12x6+4x5-3x4+4x3+8x2-1=(-12x4+4x3+9x2-1)·(x2+1).
- Глава I. Теоретические аспекты по теме многочлены
- §1. Понятие многочленов
- §2. Многочлены от одной переменной
- §3. Свойства делимости многочленов
- §4. Метод неопределённых коэффициентов
- §5. Деление многочленов на многочлен «столбиком» (или «углом»)
- §6. Теорема Безу и её следствия
- §7. Утверждения о корнях многочлена
- §8. Разложения многочлена на множители
- Понятие кольца многочлена
- Деление на двучлен и корни многочлена.
- Максимальное число корней многочлена над областью целостности.
- Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
- Алгоритм Евклида. НОД двух многочленов.
- Формальная производная многочлена. Неприводимые кратные многочлена.
- 12)Учебный план общеобразовательный школы
- 6. Программы средней (полной) общеобразовательной школы
- § 2. Факультативные занятия по математике
- 4. Общеобразовательная школа в системе общего среднего образования
- Программа изучения условий для развития субъективной позиции личности ученика, удовлетворения его образовательных запросов посредством факультативных занятий в общеобразовательных учреждениях
- Практическое занятие №2 Изучение лирики в средних и старших классах
- 3.Содержание и структура преподавания “Экономики” в старших классах. Образовательные условия достижения экономического образования в школе.
- Научно – исследовательская работа «Формирование познавательных интересов старшеклассников на факультативных занятиях по маркетинговым исследованиям».
- 11.2. Базисный учебный план средней общеобразовательной школы