Методика изучения многочленов на факультативных занятиях в старших класса средней общеобразовательной школе

дипломная работа

§3. Свойства делимости многочленов

1. Если многочлен делится на многочлен , а многочлен делится на многочлен , то многочлен делится на многочлен .

Например, многочлен x4-1 делится на многочлен х+1, поэтому многочлен х4-1 также делится на многочлен x2+1.

2. Если многочлены Рn(x) и Qm(x) делятся на многочлен , то многочлены

Рn(x)+ Qm(x) и Рn(x)- Qm(x) делятся на многочлен , а многочлен Рn(x)· Qm(x) делится на многочлен .

Например, каждый из многочленов x3-1 и 5·x2-x-4 делится на многочлен x-1; поэтому многочлен x3+5·x2-x-5, равный их сумме, и многочлен x3-5·x2+x+3, равный их разности, делится на x-1 , а многочлен 5·x5-x4-4·x3-5·x2+x+4, равный их произведению, делится на многочлен (x-1)2 = x2-2x+1.

3. Если многочлен Рn(x) делится на многочлен Qm(x), то произведение многочлена Рn(x) на любой многочлен также делится на многочлен Qm(x).

Например, многочлен x2-x+1 делится на x2-x+1; поэтому многочлен x4+x2+1, равный произведению многочленов x2-x+1 и x2+x+1, делится на многочлен x2-x+1.

4. Многочлены Рn(x) и Qm(x) тогда и только тогда делятся друг на друга, когда

Рn(x)=C· Qm(x), где C0.

Пример. Известно, что многочлен x3+x+1 и многочлен Рn(x) делятся друг на друга и Рn(0) = 3. Найти многочлен Рn(x).

Решение. Из свойства 4 следует Рn(x) =c·( x3+x+1).Так как Рn(0) = 3, то c = 3. Итак, Рn(x) = 3x3+3x+3.

5. Если многочлен Рn(x)= Qm(x)· делится на двучлен x-, то хотя бы один из многочленов - Qm(x) или - делится на x-.

Например, так как многочлен x4-1 делится на двучлен x-1 и x4-1=( x+1)·( x3-x2+x-1), то многочлен x3-x2+x-1 делится на двучлен x-1.

Разделить с остатком многочлен Рn(x) на многочлен (m) это значит найти многочлены и (x) такие, что справедливо тождественное равенство

Рn(x)= ·+(x),

где 0k<m. При этом многочлен называется частным, а многочлен (x)- остатком.

Заметим, что если многочлен Рn(x) делится с остатком на многочлен , то существует единственная пара многочленов и (x) таких, что Рn(x)= ·+(x), причем l = n-m, 0k<m.

Любой многочлен Px(x) делится на многочлен Tm(x) (mn) либо нацело, либо с остатком. В первом случае (при делении нацело) частное от деления, а во втором случае (при делении с остатком) частное и остаток можно найти методом неопределённых коэффициентов.

многочлен множитель методика изучение

Делись добром ;)