§1. Понятие многочленов

Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями - умножением и возведением в натуральную степень.

Например, каждое из алгебраических выражений

8; a; -10; bc; 4a; -c; -a·b²·c²; m·n·p⁴·k;

является одночленом. Если в одночлене произведение всех чисел записать перед буквами, а произведение каждой его буквы и ее степеней представить в натуральной степени этой буквы, то после такого преобразования одночлен считается записанным в стандартном виде, а его числовой множитель называется коэффициентом одночлена.

Степень одночлена, представляющего собой число, считается равной нулю.

Чтобы умножить одночлен, нужно перемножить их коэффициенты и перемножить степени с одинаковыми основаниями.

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести его коэффициент в эту степень и умножить показатель степени каждой буквы на показатель степени, в которую возводится одночлен.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.

Одночлены называются подобными, если, будучи записанными в стандартном виде, они совпадают или различаются только коэффициентами.

Например, одночлены 2a³·a; a⁴; 7a²; -5a⁴ подобны.

Подобные члены многочлена можно объединить в один член, им подобный, с коэффициентом, равным алгебраической сумме коэффициентов объединяемых членов; такая их замена называется привидением подобных членов.

Многочлен, содержащийся в скобках, перед которыми стоит знак плюс, можно записать без скобок, сохранив знаки, стоящие перед его одночленами.

Например: 1+3a+(8b-4kc-5k+x) = 1+3a 8b-4kc-5k+x.

Многочлен, содержащийся в скобках, перед которыми стоит знак минус, можно записать без скобок, поменяв знак, стоящий перед каждым его одночленом, на противоположный.

Например: 4x-(4a-3bx+4ab-x²) = 4x-4a+3bx-4ab+x².

Суммой (разностью) двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого являются суммой (разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов. Например, разность многочлена 5x+7y·x-3b и многочлена 4x-2y+5x·y есть многочлен x+2xy+2y-3.

Часто на практике для нахождения суммы и разности многочленов используют указанное выше правило раскрытия скобок.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на одночлен и сложить полученные одночлены.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и полученные одночлены сложить.

Пример. (x+y)·(x-a-b)=x·x+x·(-a)+x·(-b)+y·x+y·(-a)+y·(-b)=x²-ax-xb+yx-ya-yb;

Свойства степеней для многочленов аналогичны соответствующим свойствам для чисел.

Пример. (a²+1)⁰=1;

а) (a²+a)⁰=1, если a0, a-1;

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители. Для разложения многочлена на множители применяются различные методы: формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки, метод группировки и др.

При разложении на множители бывает полезным использовать метод выделения полного квадрата относительно некоторой буквы (или выражения) с помощью формулы

P²2PQ+Q²=(PQ)².

Например,

a) x²+4x+8=x²+2·2·x+2²+4=(x+2)²+4;

b) a²·b²-a·b+1=(a·b)²-2··a·b++=(a·b-)²+;