§1. Понятие многочленов
Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями - умножением и возведением в натуральную степень.
Например, каждое из алгебраических выражений
8; a; -10; bc; 4a; -c; -a·b2·c2; m·n·p4·k;
является одночленом. Если в одночлене произведение всех чисел записать перед буквами, а произведение каждой его буквы и ее степеней представить в натуральной степени этой буквы, то после такого преобразования одночлен считается записанным в стандартном виде, а его числовой множитель называется коэффициентом одночлена.
Степень одночлена, представляющего собой число, считается равной нулю.
Чтобы умножить одночлен, нужно перемножить их коэффициенты и перемножить степени с одинаковыми основаниями.
Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести его коэффициент в эту степень и умножить показатель степени каждой буквы на показатель степени, в которую возводится одночлен.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.
Одночлены называются подобными, если, будучи записанными в стандартном виде, они совпадают или различаются только коэффициентами.
Например, одночлены 2a3·a; a4; 7a2; -5a4 подобны.
Подобные члены многочлена можно объединить в один член, им подобный, с коэффициентом, равным алгебраической сумме коэффициентов объединяемых членов; такая их замена называется привидением подобных членов.
Многочлен, содержащийся в скобках, перед которыми стоит знак плюс, можно записать без скобок, сохранив знаки, стоящие перед его одночленами.
Например: 1+3a+(8b-4kc-5k+x) = 1+3a 8b-4kc-5k+x.
Многочлен, содержащийся в скобках, перед которыми стоит знак минус, можно записать без скобок, поменяв знак, стоящий перед каждым его одночленом, на противоположный.
Например: 4x-(4a-3bx+4ab-x2) = 4x-4a+3bx-4ab+x2.
Суммой (разностью) двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого являются суммой (разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов. Например, разность многочлена 5x+7y·x-3b и многочлена 4x-2y+5x·y есть многочлен x+2xy+2y-3.
Часто на практике для нахождения суммы и разности многочленов используют указанное выше правило раскрытия скобок.
Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на одночлен и сложить полученные одночлены.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и полученные одночлены сложить.
Пример. (x+y)·(x-a-b)=x·x+x·(-a)+x·(-b)+y·x+y·(-a)+y·(-b)=x2-ax-xb+yx-ya-yb;
Свойства степеней для многочленов аналогичны соответствующим свойствам для чисел.
Пример. (a2+1)0=1;
а) (a2+a)0=1, если a0, a-1;
Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители. Для разложения многочлена на множители применяются различные методы: формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки, метод группировки и др.
При разложении на множители бывает полезным использовать метод выделения полного квадрата относительно некоторой буквы (или выражения) с помощью формулы
P22PQ+Q2=(PQ)2.
Например,
a) x2+4x+8=x2+2·2·x+22+4=(x+2)2+4;
b) a2·b2-a·b+1=(a·b)2-2··a·b++=(a·b-)2+;
- Глава I. Теоретические аспекты по теме многочлены
- §1. Понятие многочленов
- §2. Многочлены от одной переменной
- §3. Свойства делимости многочленов
- §4. Метод неопределённых коэффициентов
- §5. Деление многочленов на многочлен «столбиком» (или «углом»)
- §6. Теорема Безу и её следствия
- §7. Утверждения о корнях многочлена
- §8. Разложения многочлена на множители
- Понятие кольца многочлена
- Деление на двучлен и корни многочлена.
- Максимальное число корней многочлена над областью целостности.
- Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
- Алгоритм Евклида. НОД двух многочленов.
- Формальная производная многочлена. Неприводимые кратные многочлена.
- 12)Учебный план общеобразовательный школы
- § 2. Факультативные занятия по математике
- 4. Общеобразовательная школа в системе общего среднего образования
- 6. Программы средней (полной) общеобразовательной школы
- Программа изучения условий для развития субъективной позиции личности ученика, удовлетворения его образовательных запросов посредством факультативных занятий в общеобразовательных учреждениях
- Практическое занятие №2 Изучение лирики в средних и старших классах
- Научно – исследовательская работа «Формирование познавательных интересов старшеклассников на факультативных занятиях по маркетинговым исследованиям».
- 11.2. Базисный учебный план средней общеобразовательной школы
- 3.Содержание и структура преподавания “Экономики” в старших классах. Образовательные условия достижения экономического образования в школе.