Максимальное число корней многочлена над областью целостности.

Теорема: Пусть k - область целостности . Число корней многочлена f в области целостности k не больше степени n многочлена f.

Доказательство:

Индукцией по степени многочлена. Пусть многочлен f имеет ноль корней, и их число не превосходит .

Пусть теорема доказана для любого .

Покажем, что из пункта 2 следует истинность утверждения теоремы для многочленов .

Пусть и , возможны два случая:

А) Многочлен f не имеет корней, следовательно, утверждение теоремы истинно.

Б) Многочлен f имеет, по крайней мере, корень, по теореме Безу , , так как k - область целостности то по свойству 3 (степени многочлена), следует, что

Пусть и

, так как , k - область целостности.

Таким образом, все корни многочлена , является корнем многочлена g так как , то по индукционному предположению, число всех корней многочлена g не больше n, следовательно, f имеет не больше (n+1) корень.

Следствие: Пусть k- область целостности, если число корней многочлена f больше числа n, где , то f- нулевой многочлен.