§5. Деление многочленов на многочлен «столбиком» (или «углом»)

Проиллюстрируем этот метод на примере деления многочлена 2x⁴-3x³+4x²+1 на многочлен x²-1:

В общем случае при делении многочлена P_n(x) на многочлен T_m(x) «столбиком» многочлены P_n(x) и T_m(x) располагают по убывающим степеням x. Затем старший член многочлена P_n(x) делят на старший член многочлена T_m(x) и получают старший член частного-многочлена q(x) умножают затем на делитель-многочлен T_m(x) и полученный многочлен вычитают из многочлена P_n(x). В результате вычитания получается некоторый многочлен D₁(x), степень которого меньше n.

Если степень многочлена D₁(x) меньше m, то процесс деления окончен, при этом многочлен D₁(x)-остаток. Если степень многочлена D₁(x), больше или равна m, то описанная процедура деления повторяется для многочлена D₁(x), т.е. старший член многочлена D₁(x) делят на старший член многочлена T_m(x) и полученный многочлен вычитают из многочлена D₁(x). В результате вычитания получается многочлен D₂(x), степень которого меньше n-1. Если степень многочлена D₂(x) меньше m,то процесс деления окончен, при этом многочлен D₂(x)-остаток. Если же степень многочлена D₂(x) больше или равна m, то описанная процедура деления повторяется для многочлена D₂(x). Процесс продолжается до тех пор, пока степень полученного на k-м шаге многочлена D_k(x) станет меньше степени многочлена T_m(x), т.е. меньше m. При этом многочлен D_k(x) -остаток.

При делении многочлена P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n, расположенного по убывающим степеням x, на двучлен применяется метод сокращённого деления, называемой схемой Горнера. Этот метод есть непосредственное следствие метода неопределённых коэффициентов. Заметим, что при делении многочлена P_n(x) степени n на двучлен в частном получается многочлен Q_n-1(x)=a_0·x^n-1+b_1·x^n-2+…+b_n-1 степени n-1, а в остатке - число (в частности, нуль). По методу неопределённых коэффициентов имеем

т.е.

+…

+ (4)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части равенства (4), находим

Откуда получаем рекуррентные формулы для нахождения коэффициентов частного b₁, b₂, … ,b_n-1 и остатка r:

Практически вычисление коэффициентов частного Q_n-1(x) и остатка r проводится по следующей схеме (схема Горнера):

0

Размещено на http://www.allbest.ru/

В этой схеме, начиная с коэффициента b₁, каждое число третьей строки получается из предыдущего числа этой строки умножением на число и прибавлением к полученному результату соответствующего числа первой строки, стоящего над искомым числом.

При делении многочлена P_n(x) на x- имеем тождественное равенство

P_n(x) =(x - )· Q_n-1(x)+r .

Оно справедливо, в частности, при x =, т. е. P_n() = r

Следующая теорема позволяет найти остаток от деления многочлена на двучлен, не находя частного.