3.2 Произведение матриц

Соотношения (5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в множествах матриц размера и отображений . В случае произвольных множеств имеется еще важное понятие произведения (композиции) отображений. Разумно ожидать, что композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным образом в терминах матриц. Посмотрим как это делается.

Пусть , --- линейные отображения, --- их композиция.

Вообще говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что --- линейное отображение, но это довольно ясно:

(i) ;

(ii) ;

поэтому по теореме 1 с ассоциируется вполне определенная матрица .

Действие отображений на столбцы в цепочке запишем в явном виде по формуле ():

С другой стороны,

Сравнивая полученные выражения и памятуя о том, что --- произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям

Будем говорить, что матрица получается в результате умножения матрицы на матрицу . Принято писать . Таким образом, произведением прямоугольной матрицы размера и прямоугольной матрицы размера называется прямоугольная матрица размера с элементами , задающимися соотношением (7). Нами доказана

3.2.1 Теорема. Произведение двух линейных отображений с матрицами и является линейным отображением с матрицей . Другими словами,

Соотношение (8) - естественное дополнение к соотношению (6).

Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение двух произвольных матриц , , имея в виду, однако, что символ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов в матрице совпадает с числом строк в матрице . Именно при этом условии работает правило (7) "умножения -й строки на -й столбец ", согласно которому

Число строк, матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов --- числу столбцов матрицы . В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря, , как показывает хотя бы следующий пример:

Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике.

Следствие. Умножение матриц ассоциативно:

Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7).