3.3 Квадратные матрицы

Пусть (или ) --- множество всех квадратных матриц () порядка с вещественными коэффициентами ,

Единичному преобразованию , переводящему каждый столбец в себя, соответствует, очевидно, единичная матрица

Можно записать , где

- символ Кронекера. Правило (7) умножения матриц, в котором следует заменить на , показывает, что справедливы соотношения

Матричные соотношения (10), полученные вычислительным путем, вытекают, конечно, из соотношений для произвольного отображения , если воспользоваться теоремой 1 и равенством (8) с .

Как мы знаем (см. (5)), матрицы из можно умножать на числа, понимая под , где , матрицу .

Но умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц:

- известная нам скалярная матрица.

В равенстве (11) отражен легко проверяемый факт перестановочности с любой матрицей . Весьма важным для приложений является следующее его обращение.

3.3.1 Теорема. Матрица из , перестановочная со всеми матрицами в , должна быть скалярной.

Доказательство. Введем матрицу , в которой на пересечении -й строки и -го столбца стоит 1, а все остальные элементы --- нулевые. Если --- матрица, о которой идет речь в теореме, то она перестановочна,

Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы

с единственным ненулевым -м столбцом и соответственно с единственной ненулевой -й строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям при и . Меняя и , получаем требуемое.

Отметим еще соотношения , которые непосредственно вытекают из определения умножения матриц на скаляры или, если угодно, из соотношений (11) и из ассоциативности умножения матриц.

Для данной матрицы можно попробовать найти такую матрицу , чтобы выполнялось условие

Если матрица существует, то условию (12) в терминах линейных преобразований отвечает условие

означающее, что --- преобразование, обратное к . существует тогда и только тогда, когда --- биективное преобразование. При этом определено однозначно. Так как , то биективность означает, в частности, что

Пусть теперь --- какое-то биективное линейное преобразование из в . Обратное к нему преобразование существует, но, вообще говоря, не ясно, является ли оно линейным. Чтобы убедиться в линейности , мы введем векторы-столбцы

и применим к обеим частям этих равенств преобразование . В силу его линейности получим

Так как , то

откуда, в соответствии с импликацией (13), находим, что , --- нулевые векторы. Таким образом, выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие линейные отображения. Имеем , где --- некоторая матрица. Переписав условие () в виде (см. (8)) и снова воспользовавшись теоремой 1, мы придем к равенствам (12).

Итак, матрица, обратная к , существует в точности тогда, когда преобразование биективно. При этом преобразование линейно. Биективность равносильна условию, что любой вектор-столбец записывается единственным образом в виде (1)

где --- столбцы матрицы (сюръективность приводит к существованию , для которого , а инъективность дает единственность : если , то , откуда, согласно (12), ). Значит, совпадает с пространством столбцов матрицы , так что .

Если матрица, обратная к , существует, то, согласно вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом . В таком случае (см. ())

Квадратную матрицу , для которой существует обратная матрица , называют невырожденной (или неособенной). Невырожденным называют и соответствующее линейное преобразование . В противном случае матрицу и линейное преобразование называют вырожденными (или особенными).

Резюмируем полученные нами результаты.

3.3.2 Теорема. Квадратная матрица порядка является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14).

Следствие. Невырожденность влечет невырожденность и . Если --- невырожденные --- матрицы, то произведение также невырождено и .

Для доказательства достаточно сослаться на симметричность условия .

Нами получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка . Имеются в виду, ассоциативность (следствие теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности:

где , , --- произвольные матрицы из .

Действительно, полагая , мы получим для любых равенство (используется дистрибутивность в ):

левая часть которого дает элемент матрицы , а правая --- элементы и матриц и соответственно . Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично. Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в . Законы дистрибутивности

для линейных отображений , , из в можно не доказывать, ссылаясь на соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь, выводить (16) из (), поскольку в случае отображений, рассуждение столь же просто.