2. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнение Эйри

Решение уравнения Эйри

будем искать в форме степенного ряда (1.15). Тогда равенство (1.16) примет вид

Приравняем нулю коэффициент при каждой степени

Коэффициент при равен Следовательно, Из равенства нулю коэффициента при находим Коэффициент при равен Отсюда

Из этой формулы получаем

Аналогично находим

Коэффициенты и остаются неопределенными. Для нахождения фундаментальной системы решений положим вначале а затем наоборот. В первом случае имеем

а во втором

На основании теоремы 1.5 эти ряды являются сходящимися всюду на числовой прямой

Функции называют функциями Эйри. При больших значениях асимптотическое поведение этих функций описывают формулы

Графики этих функций изображены на рисунке 1.

Рисунок 1

При неограниченном увеличении нули всякого решения уравнения Эйри неограниченно сближаются, что видно из асимптотического представления этих решений, но совсем не очевидно из представления функций Эйри в виде сходящихся степенных рядов. Отсюда следует, что способ поиска решения ОДУ при помощи ряда, вообще говоря, малопригоден при решении прикладных задач, а само представление решения в виде ряда затрудняет анализ качественных свойств полученного решения [9].