10. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Пусть дана задача Коши: ,

Решение этой задачи в виде ряда Тейлора ищется так. . Первыеn коэффициентов ряда известны из начальных условий, остальные находятся последовательным дифференцированием уравнения.

Типовые примеры

1) .

►Из уравнения находим . Дифференцируем уравнение:. Далее дифференцируем уравнение и находим значение производной в точке:,. Так мы можем вычислить производные любого порядка. Решение задачи Коши:.◄

2) Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения):при,.

►Решение будем искать в виде ряда Маклорена:

, .

, . Тогда

или ◄

3) Найти решение уравнения при,.

►Решение будем искать в виде ряда, разложенного по степеням :

Коэффициенты инаходим из начальных условий:,. Дважды дифференцируем ряд:Подставляя в дифференциальное уравнение вместоиих разложения, получаем тождество

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим:

, ,…,. Поэтому,,,,,,и вообще,. Значит,

◄

4) .

►Находим: Закономерность понятна. Производные порядка 3n-1 и 3n равны нулю, производная порядка 3n+1 равна , поэтому С помощью признака Даламбера легко убедится, что этот ряд сходится при , следовательно, даёт решение задачи Коши на всей числовой оси. ◄