2.1 Уравнение Бесселя

Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, имеющее вид

, ,(2.1)

называется уравнением Бесселя.

Решение уравнения (2.1) будем искать в виде обобщенного степенного ряда, т.е. произведения некоторой степени на степной ряд:

(2.2)

Подставляя обобщенный степенной ряд в уравнение (2.1) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени в левой части уравнения, получим систему

Считая, что из данной системы находим Пусть Тогда из второго уравнения системы находим а из уравнения придавая значения 3,5,7,…, заключаем, что Для коэффициентов с четными номерами получаем выражения

Подставляя найденные коэффициенты в ряд (2.2), получим решение

где коэффициент остается произвольным.

При все коэффициенты аналогично определяются только в случае, когда не равно целому числу. Тогда решение можно получить, заменяя в предыдущем решении величину на :

Полученные степенные ряды сходятся для всех значений , что легко устанавливается на основании признака Даламбера. Решения и линейно независимы, так как их отношение не является постоянным.

Решение умноженное на постоянную называется функцией Бесселя (или цилиндрической функцией) порядка первого рода и обозначается символом Решение обозначают

В общепринятом выборе постоянной участвует гамма-функция которая определяется несобственным интегралом:

Следовательно, общее решение уравнения (2.1) при не равном целому числу, имеет вид где и - произвольные постоянные величины [12].