1.2 Двойственность Понтрягина

Пусть G - коммутативная группа. Как было определено выше, характером этой группы называется гомоморфизм G в группу Т (единичную окружность комплексной плоскости), т. е. такая функция на G с комплексными значениями, равными 1 по абсолютной величине, что

(х + у) = (х)(у). (1)

Если G - топологическая группа, то, как правило, термин «характер» означает «непрерывный характер». Мы будем считать все рассматриваемые характеры непрерывными, не оговаривая этого особо. Если и - характеры группы G, то их произведение - также характер; если - характер, то

(комплексное сопряженное) - также характер. Таким образом, совокупность всех характеров данной группы G образует группу относительно операции обычного умножения функций. Эта группа обозначается G^ и называется группой, двойственной к G. Группа G становится топологической группой, если определить сходимость как равномерную сходимость на каждом компакте K G.

Пример

Пусть G = - группа целых чисел. Ясно, что каждый характер G^ определяется своим значением на образующем элементе 1 G (не путать 1 с единицей группы, роль которой играет 0). В самом деле, из (1) следует, что

для всех , (2)

Значение может быть любым числом Т. Тем самым множество G отождествляется в этом случае с окружностью Т.

Теорема. Имеет место изоморфизм топологических групп ^ = Т.

Доказательство. Мы уже видели, что множество естественно отождествляется с Т. Покажем, что это соответствие является изоморфизмом топологических групп. Будем обозначать через характер, определяемый условием , Т. Равенство показывает,

что соответствие является изоморфизмом групп Т и ^. Осталось проверить, что это соответствие является гомеоморфизмом. Поскольку группа дискретна, каждый компакт в состоит из конечного числа точек. Значит, сходимость в является поточечной сходимостью. Равенство (2) показывает, что тогда и только тогда, когда , т. е. когда . Теорема доказана.

Также можно доказать, что группа Т^ изоморфна . Тогда получаем, что группы и Т двойственны друг к другу. Этот факт является частным случаем

принципа двойственности Л. С. Понтрягина:

Для любой локально компактной топологической группы G естественное отображение G в (G^)^, которое элементу gG ставит в соответствие характер f_g на G^ по формуле

, G^,

является изоморфизмом топологических групп.

Заметим, что для общих топологических групп этот принцип не всегда выполняется.