3.3 Полухарактеры и характеры в S
Справедливо следующее утверждение:
Теорема. Отображение является полухарактером , где , так, что и .
Доказательство. 1) Отображение непрерывно как композиция непрерывных отображений; кроме того, и . Также верно, что . Действительно. .
Таким образом, - полухарактер.
2) Пусть теперь - некоторый полухарактер. Тогда , т.е.
.
Заметим, что . Обозначим , тогда . Положим , , f непрерывна как композиция непрерывных функций (ц непрерывна по условию). Тогда ,
и мы придем к равенству
,
.
Заметим, что . Тогда т., что , отсюда следует, что (f непрерывна). Это верно . Тогда, положив , получим: , c=const, . Тогда .
Вернемся к равенству . Пусть в нем , тогда при .
Если , то получаем равенство .
Тогда т., что , и, следовательно,
,
Откуда и получим, что .
Для отрицательных значений x проводятся аналогичные рассуждения.
Итак , ч.т.д.
Замечание. Если | c | = 1 и | a | = 1, то мы получим соответствующую теорему для характеров.
- Введение
- 1. Полухарактеры и характеры
- 1.1 Начальные сведения
- 1.2 Двойственность Понтрягина
- 1.3 Функциональная характеристика показательной функции
- 2. Полугруппа Sp
- 2.1 Определение и некоторые свойства
- 2.2 Инвариантная мера в Sp
- 2.3 Полухарактеры и характеры в Sp
- 3.3 Полухарактеры и характеры в S
- Заключение