3.1.2. Инвариантная мера

Неустойчивость траекторий хаотических динамических систем приводит к тому, что сколь бы малой ни была погрешность в определении исходного состояния системы, эта погрешность будет нарастать, пока не достигнет размера аттрактора. После этого попытки предсказания будущего поведения становятся лишенными всякого смысла.

Разбив область фазового пространства, в которой содержится аттрактор, на ячейки, вычислим отношение . Здесь  – время, проводимое траекторией в ‑й ячейке,  – полное время движения на аттракторе. Если время , то это отношение стремится к некоторой фиксированной для данной ячейки величине. Отклонение от среднего значения уменьшается с ростом . Это напоминает стремление частоты случайного события к его вероятности при увеличении числа испытаний. Возникает аналогия между теорией вероятностей и теорией динамических систем.

Подобно тому, как в теории вероятностей вводят меру на пространстве случайных событий (для дискретного пространства – это вероятность элементарного события, а для непрерывного – плотность вероятности), можно определить некоторую меру в фазовом пространстве, связанную с динамической системой. Эта мера получила название инвариантной меры. В данном случае она инвариантна при временном сдвиге траектории – переходе от точки к точке .

Инвариантная мера позволяет множеству в фазовом пространстве сопоставить некоторое число, которое можно интерпретировать как вероятность посещения траекторией данного множества. Определив, таким образом, понятие вероятности, можно для исследования динамических систем применять статистические методы, например, ввести понятие средней величины, корреляций, энтропии. Для динамического хаоса статистические методы оказываются весьма подходящим инструментом его изучения.

К понятию инвариантной меры можно прийти и иным путем, рассмотрев не одну траекторию, а целый ансамбль, начальные данные для которого распределены в фазовом пространстве с некоторой плотностью вероятностей . Пусть отображение определяет динамику исследуемого процесса. Для какой-либо траектории из ансамбля вероятности оказаться в бесконечно малой окрестности точки и в окрестности ее образа должны совпадать, т. е. . Из-за преобразования пространства размер этой бесконечно малой окрестности, вообще говоря, изменится, а поэтому изменится и плотность вероятности. Преобразование пространства порождает преобразование плотности вероятности . Таким образом, случайные последовательности можно представить как результат действия некоторого отображения на пространстве случайных событий, если это отображение сохраняет меру или мера для него является инвариантной.

Существование инвариантной меры в фазовом пространстве является важной характеристикой хаоса. Инвариантная мера характеризует частоту попадания фазовой точки в заданный объем, определяя «долю» всех итераций, попадающих в точку , или с какой плотностью итерации исследуемого отображения размазаны по множеству.