1.1 Начальные сведения

Частичным ассоциативным группоидом называют систему, состоящую из непустого множества S и отображения т(х,у) = ху (закона композиции), действующего из непустого подмножества произведения S x S в S и обладающего свойством ассоциативности. Если т определено не на всем произведении S x S, то S называют полугруппой . Полугруппа S называется абелевой (коммутативной), если ху = ух при всех х, у S. Далее мы будем, как правило, иметь дело с полугруппами.

Левым (правым) идеалом полугруппы S называется такое непустое подмножество A S, что saA (asA) при всех sS, аА. Если А является и левым, и правым идеалом полугруппы S, то его называют (двусторонним) идеалом. Идеал полугруппы S называется простым, если его дополнение есть полугруппа.

Говорят, что подмножество Р полугруппы S обладает левыми (правыми) сокращениями на элементы S, если из равенства sx = sy (xs = ys), где sS,

x, уP, следует равенство х = у. Мы скажем, что S - полугруппа с (дву-сторонними) сокращениями, если она обладает и левыми, и правыми сокращениями.

Группа G называется группой левых частных полугруппы S, если S погружается в G, и каждый элемент xG представляется в виде х =а^-1b, где

a,bS. Известно (теорема Оре), что полугруппа S погружается в группу левых частных тогда и только тогда, когда она обладает сокращениями и реверсивна справа, т. е. Sa ?Sb ? 0 для любых a, b S. В частности, любая коммутативная полугруппа с сокращениями погружается в группу частных.

Полугруппа S, наделенная хаусдорфовой топологией, для которой отображение т(х,у) = ху из SS в S непрерывно, называется топологической полугруппой.

Топологическая группа - это топологическая полугруппа, являющаяся группой, в которой непрерывна также и операция перехода к обратному элементу. Топологическая группа называется локально компактной, если ее топологическое пространство локально компактно.

Скажем, что топологическая полугруппа S погружается в топологическую группу G, если существует взаимно-непрерывный инъективный гомоморфизм р : S > G. При этом, когда это удобно, мы будем отождествлять S с ее образом p(S) в группе G. В этом случае группа S ? S ^-1 обратимых элементов полугруппы S будет обозначаться G(S).

Если X - топологическое пространство, то наименьшая у-алгебра в(Х) его подмножеств, содержащая все открытые множества, называется у -алгеброй борелевских множеств. Мера м, определенная на у -кольце в(Х), называется внутренне регулярной, если для любого В имеем

м (B) = sup{м (C) :С В,С ,С компактно}. Мера на в(Х) называется борелевской мерой. Борелевская мера на хаусдорфовом пространстве X называется мерой Радона, если она внутренне регулярна, и меры всех компактных множеств конечны.

Левой мерой Хаара на локально компактной группе G называется мера Радона м, инвариантная в том смысле, что м(хВ) = м(В) для любых В в (Х),

х G. Известно (А. Хаар, А. Вейль), что левая мера Хаара всегда существует и единственна с точностью до множителя. То же верно для правой меры Хаара. Если группа абелева, то просто говорят о мере Хаара на группе G.

Пусть теперь S -- топологическая полугруппа (не обязательно абелева). Полухарактером полугруппы S будем называть непрерывный гомоморфизм из S в полугруппу с операцией умножения (- единичный диск комплексной плоскости), отличный от тождественно нулевого. Пространство всех полухарактеров полугруппы S, наделенное топологией поточечной сходимости, будет обозначаться S*, а его подпространства, состоящие из всех вещественнозначных (положительных, ограниченных положительных) полухарактеров, -- через S_r* (соответственно S₊*, S₁*).

Для топологической полугруппы S через S^ обозначим множество всех ее ограниченных полухарактеров (т. е. ненулевых непрерывных гомоморфизмов из S в замкнутый единичный диск комплексной плоскости с операцией умножения), наделенное топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах S, а через S^₊ - подпространство этого пространства, состоящее из неотрицательных полухарактеров (разумеется, в дискретном случае

S₁* = S^₊).

Характером будем называть полухарактер, равный по модулю единице, а группа характеров будет обозначаться X.

Следует отметить, что даже в случае абелевых полугрупп с сокращениями множества S*, S₊*, S^, S^₊ и ряд их множеств являются относительно поточечного умножения лишь частичными ассоциативными группоидами. (Действительно, пусть, например, S есть мультипликативная полугруппа 23. Тогда индикаторы множеств 2 3 и 3 2 принадлежат S^₊, но их произведение равно нулю). Тем не менее, все эти группоиды являются полугруппами, если S содержит единицу.