1.3 Функциональная характеристика показательной функции

Для нахождения характеров нам понадобится решать уравнения вида (1). Однако вначале рассмотрим задачу:

Найти все непрерывные в промежутке функции f(x), удовлетворяющие условию

f(x+y) = f(x) + f(y), (3)

каковы бы ни были значения x и у.

Уравнение (3) является простейшим примером так называемых функциональных уравнений, формулирующих некое свойство искомой функции, по которому она и должна быть найдена. Наша задача состоит в отыскании всех непрерывных решений уравнения (3).

Легко видеть, что линейные однородные функции вида

f(x) = cx ( c=const) (4)

удовлетворяют этому уравнению. Покажем, что они будут единственными непрерывными функциями, имеющими свойство (3).

Прежде всего, с помощью метода математической индукции легко обобщить соотношение (3) на случай любого числа (=n) слагаемых:

= f(x) + f(y) +… + f(z) (5)

Действительно, если допустить верность его для какого-либо числа n2 слагаемых, то оно окажется верным и для n+1 слагаемых:

,

Полагая в (5) x = y = … = z, найдем:

f(nx) = nf(x). (6)

Заменив здесь x на , получим

,

А затем, если подставить mx ( m- натуральное) вместо x и использовать предыдущее равенство, придем к соотношению

(7)

Положим теперь в основном уравнении (3) x = y = 0; получим

f(0) = 2f(0), откуда f(0)=0. (8)

Если же взять y = - x, то, с учетом (8) найдем:

f(-x) = - f(x),

т. е. функция f(x) нечетная, тогда из (6) и (7) легко получить:

f(-nx) = - f(nx) = -n f(x) (9)

и, аналогично, вообще

(10)

Полученные соотношения (6) - (10) могут быть объединены в равенстве

f(rx) = rf(x),

справедливом для любого вещественного значения x, каково бы ни было рациональное число r.

Если взять здесь x = 1 и обозначить f(1) через c, то получим

f(r) = сr.

Таким образом, мы, собственно говоря установили уже вид функции f, но пока лишь для рациональных значений аргумента. При этом мы использовали только тот факт, что функция удовлетворяет условию (3), и не опирались на ее непрерывность.

Пусть теперь q будет любое иррациональное значение аргумента. Легко построить стремящуюся к нему последовательность рациональных чисел

r₁, r₂, … , r_n, …

(можно, например, взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби). Мы только что показали, что

f(r_n) = сr_n (n = 1,2,…),

Перейдем здесь к пределу при ; справа мы получим сq, слева же, именно ввиду предположенной непрерывности функции f, получится

lim f(r_n) = f(q),

так что, окончательно,

f(q) = cq.

Таким образом, действительно, наша функция при всех вещественных значениях аргумента выражается формулой (4). Эта формула дает самое общее решение уравнения (3) в непрерывных функциях.

Вернемся теперь к уравнению (1). Решим его вначале для вещественно- значных функций. Итак, рассмотрим уравнение

f(x+y) = f(x)f(y), (3)

где f: непрерывна. Нетрудно заметить, что если

f(x) = a^x (a > 0), (4)

то, каковы бы ни были два вещественных числа x и у, равенство (3) всегда имеет место. Оказывается, что функциональным свойством (3), вместе со свойством непрерывности, показательная функция определяется вполне. Точнее говоря: единственной функцией, определенной и непрерывной во всем промежутке и удовлетворяющей в нем условию (3), является показательная функция (если не считать функции, тождественно равной 0).

Иными словами, формула (4) - за указанным исключением - дает самое общее решение функционального уравнения (3) в непрерывных функциях.

Для доказательства этого рассмотрим произвольную функцию f(x), определенную и непрерывную при всех x и удовлетворяющую условию (3). Исключается тривиальный случай, когда f(x) 0.

Итак, при некотором значении x = х₀ эта функция отлична от 0.

Полагая в (3) у = х₀-х, получим

f(x)f(х₀-х) = f(х₀) 0;

отсюда ясно, что f(x) отлична от 0 при всяком х. Больше того, заменяя в (3) x и у через , найдем:

f(x) = ,

так что f(x) всегда строго положительна.

Пользуясь этим, прологарифмируем равенство (3), например, по натуральному основанию е:

ln f(x+y) = ln f(x)+ln f(y).

Если положить

(x)= ln f(x),

то в лице (x) мы будем иметь функцию, непрерывную (как результат суперпозиции непрерывных функций, и удовлетворяющую условию:

(x+y)= (x) +(y),

аналогичному (А). В таком случае, как мы установили, необходимо

(x)= ln f(x) = cx (с = const.),

откуда, наконец,

f(x) = e^cx = a^x

(если положить а = e^c), ч. и тр. д.