2.1 Определение и некоторые свойства

Рассмотрим множество неотрицательных действительных чисел . Кроме того, пусть , . Введем здесь алгебраическую операцию следующим образом:

,

(в дальнейшем будем рассматривать только такие x,y и p). Обозначим . Справедлива следующая

Лемма. Множество является абелевой полугруппой с нулем и обладает сокращениями.

Доказательство. Очевидно, что введенная операция определена на всем множестве . Заметим, что

=

. операция ассоциативна на . Итак, по определению - полугруппа.

Заметим также, что указанная операция коммутативна. Действительно:

.

Тогда является абелевой полугруппой.

Установим наличие у нулевого элемента . Нетрудно заметить, что таким элементом является число ноль (), т.к.

.

Единственность нуля следует из его единственности в .

Пусть теперь , . Тогда

,

,

.

Тогда получаем, что обладает правыми сокращениями. Аналогично показывается, что обладает и левыми сокращениями, т.е. обладает сокращениями.

Таким образом, - абелева полугруппа с нулем, обладающая сокращениями, ч.т.д.

Теперь найдем группу частных , если она существует.

Рассмотрим . Пусть , т.е. .

.

Возможны следующие два случая:

1) p - нечетное число. В этом случае . Тогда

- группа частных, в которую погружается .

2) p - четное число. Тогда , где - один из p комплексных корней

единицы, и группа частных имеет вид:

.

Таким образом, справедливо следующее утверждение:

Теорема. погружается в группу частных

,