2.2 Инвариантная мера в Sp

Рассмотрим полугруппу и попытаемся ввести в ней инвариантную меру. Нетрудно убедится, что -алгебра борелевских множеств на является сужением -алгебры борелевских множеств на , т.е.

.

Теорема. где , является -аддитивной инвариантной

мерой, заданной в полугруппе .

Доказательство. Пусть - мера Лебега - Стилтьеса, где .

Она определена на , а значит, определена и на . Очевидно, что строго возрастает на . Кроме того, она непрерывна, а значит, непрерывна слева на всей области определения. Тогда по свойствам меры -аддитивна. Осталось проверить ее инвариантность.

Докажем, что данная мера инвариантна слева, т.е. . Ввиду -аддитивности меры достаточно показать, что это верно для M = [a;b), где . Покажем это.

.

Заметим, что непрерывна как композиция непрерывных функций, а значит

. Тогда =

.

Итак, данная мера инвариантна слева. Аналогично показывается, что она инвариантна справа, ч.т.д.