2.1.1 Случай

Пусть . (8)

Тогда из (7) имеем

Откуда

где - произвольные постоянные.

Для однозначности компоненты необходимо требовать

(9)

Учитывая условия (8), (9), получаем систему

(10)

Из системы (10) исключим , получим дифференциальное уравнение вида

(11)

Для того, чтобы в решении уравнений (11) отсутствовали подвижные критические особые точки необходимо, чтобы [1], [2]

, (12)

, т.к. .

Учитывая условие (12) уравнение (11) перепишется в виде

(13)

Уравнение (13), для отсутствия подвижный критических особых точек, должно быть полиномом по [1], [2].

Если , то надо требовать

Откуда

.

Тогда (10) запишется в виде

(14)

Из второго уравнения следует, что (14) не имеет подвижных критических особых точек, если только

(15)

Пусть (16)

то уравнение (13) перепишется в виде

(17)

Где

.

Для отсутствия подвижных критических особых точек, в решении уравнения (17) требуем, чтобы . Откуда необходимо

,

что имеет место, если

(18)

Уравнение (17) примет вид

(19)

Если , то необходимо и достаточно, чтобы .

Пусть , тогда уравнение (19) перепишется в виде

(20)

Где

(21)

Если , (22)

то имеем уравнение

(23)

Уравнение (20) не имеет подвижных критических особых точек, если .

Уравнение (23) также не имеет подвижных критических особых точек.

2.1.2 Случай

Пусть . Исключая из системы (7) получаем уравнение

(24)

Выполнив замену , получим

.

Так как , то это уравнение не будет иметь подвижных критических особых точек, когда

(25)

Пусть, . Тогда с помощью линейного преобразования система (6) приводится к системе, у которой . Поэтому будем рассматривать систему вида

(26)

В систему (26) введем параметр по формулам

тогда она примет вид

при , имеем упрощенную систему

(27)

Если , то из (27) имеем

Или

.

Решение системы

,

где - произвольные постоянные.

Для однозначности решения необходимо требовать, чтобы . Если , то из (27) имеем

и подставляем и во второе уравнение системы (27).

Получим

Для отсутствия у этого уравнения критических особенностей необходимо, чтобы правая часть уравнения была полиномом относительно [1],[2], что имеет место при . Тогда система (26) примет вид

(28)

Если (29)

то исключая из системы , получаем уравнение второго порядка для

(30)

Уравнение (30) не имеет подвижные критические особенности.

При (31)

система (28) перепишется в виде

(32)

Исключаем и получим для уравнение второго порядка

(33)

Для отсутствия подвижных критических особых точек у этого уравнения требуем, чтобы .

Если (34)

то уравнение (33) имеет вид

Это уравнение не имеет подвижных критических особых точек только если

,

где или (35)

Если , (36)

то уравнение (33) имеет вид

(37)

Выполнив в (37) замену получим уравнение

,

имеющее Пенлеве.