2. Варианты аксиоматики Вейля

Известны разные варианты аксиоматики Вейля. Рассмотрим один из них.

Пусть V - n-мерное евклидово векторное пространство и Е- непустое множество, элементы которого А,В,С,… будем называть точками. Пусть на множестве Е задано отображение : ЕЕV.

Обозначим вектор (A,B)= и назовем его переносом, переводящим точку А в точку В.Потребуем что бы отображение обладало свойствами:

I.Для любой фиксированной точки АE отображение : E по закону:

(В)=, является биекцией.

II. ,+=

Тогда множество Е называется n-мерным евклидовым пространством, а векторное пространство V - его пространством переносов. Свойства I,II отображения называются аксиомами Вейля.

Отображение каждой паре точек (А,В) ставит в соответствие вектор = из V. Если первую точку А пары зафиксируем, а вторая точка В будет пробегать все множество Е, то получим отображение : E . Аксиома I требует чтобы полученное отображение было биективным отображением Е на V. Требование аксиомы I можно истолковать как требование биективности соответствия между точками В и радиус-векторами этих точек при фиксированном начале А.

Требование аксиомы II означает следующее. Если вектор переводит точку А в точку В =), а вектор переводит точку В в точку С (c=), то вектор + должен переводить точку в точку С (+=).

Таким образом, в определении структуры евклидова пространства по вейлю векторы играют роль операторов на множестве точек: (A)=B =, аналогично роли чисел в определении структуры векторного пространства.

Если в определении структуры евклидова пространства не требовать евклидовости его пространства переносов (то есть не вводить отображение g, обладающее свойствами 9)-11), то мы получим определение n-мерного аффинного пространства. Поэтому евклидово пространство можно рассматривать как обогащенную структуру аффинного пространства: в пространстве переносов V аффинного пространства вводится новое отношение - скалярное умножение или положительно определенная квадратичная форма (называемая метрической формой евклидова пространства). Это новое отношение позволяет определить в Е новые понятия, о которых не может идти речь в аффинном пространстве: «расстояние между точками» , «движение» (преобразование пространства Е, сохраняющее расстояния) и др.

В аксиоматике Вейля основное отношение каждой паре точек (А,В)E сопоставляет вектор . В силу аксиомы I каждой паре (,) сопоставляется единственная точка В= и, значит, возникает отображение . Это позволяет придать аксиоматике Вейля иной вид.

В качестве основного отношения задают отображение и обозначают Операцию, сопоставляющую точке А и вектору точку =В, называют «откладыванием вектора от точки А».

В этом случае аксиомы Вейля - свойства отображения - формулируют следующим образом:

. B,

то есть существует и единственный вектор, который переводит заданную точку А в любую заданную точку B.

. .

Существование отображения здесь обеспечивается аксиомой .

При таком подходе особо подчеркивается роль векторов как операторов на множестве точек. Этот подход хорошо сочетается с истолкованием вектора как параллельного переноса в школьном курсе геометрии. Напротив, первый из указанных вариантов аксиоматики Вейля, в котором вектор связывается с парой точек, более подходит к такому изложению школьного курса геометрии, в котором вектор выступает как направленный отрезок или класс эквивалентных направленных отрезков.

Таким образом, если заключительная часть школьного курса геометрии строится на основе аксиоматики Вейля, то имеется возможность выбрать тот из вариантов, который наиболее близок изложению предыдущего материала.