2. Доказательства и решения задач

Задача 1: Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Доказательство: Пусть ABCD - данный ромб (рис.3). Введем обозначения =, =. Из определения ромба следует ==, ==.

По определению суммы и разности векторов =+;=-.

Рассмотрим *=+)(-)=-. Так как стороны ромба равны, то =. Следовательно, *=0. Из последнего условия следует что, , что и требовалось доказать.

Задача 2: Даны два вектора и , причем А(-1;2;4), В (-4;5;4), С(-1;-2;2) и D(2;1;5). Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение: Найдем сначала координаты векторов.=(-3;3;0) и =(3;3;3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

* =(-3)*3 +3*3+0*3 = 0.

Последнее и означает, что

Задача 3: Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.

Решение: Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через ,, :

=, =,=. Тогда =+=+=+.

Аналогично определяются и другие медианы:

=, =.

Так как, в силу замкнутости ++=++=0б то мы имеем

++=()+()+()==*0=0.

Следовательно, отложив от точки В, вектор = и от точки С₁ - вектор = , мы получим.

++=++=0.

А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А₁В₁С₁D₁ является замкнутой, т.е. точка D₁ совпадает с А₁.

Таким образом, мы получаем треугольник А₁В₁С₁ (рис.5), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.

Задача 4: Доказать, что для любого треугольника имеет место формула

c² = a²+b²-2ab*соsС (теорема косинусов)

Решение. Положим:

= , = , = (рис.6).

Тогда = -, и мы имеем (учитывая, что угол между векторами и равен

С): с² =(а-b)² = а² -2аb + b² = а²-2аb*соsС+ b².

Задача 5: Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Решение: Пусть четырехугольник АВСD - параллелограмм (рис.7). Имеем векторные равенства +=, -=. Возведем эти равенства в квадрат. Получим:+2=, -2=

Сложим эти равенства почленно. Получим: так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

Задача 6: Даны три точки: А(1;1), В(-1;0), С(0;1). Найдите такую точку D(х;y), чтобы векторы и были равны.

Решение: Вектор имеет координаты (-2, -1). Вектор имеет координаты (х-0, y-1). Так как = , то х-0 = -2, y-1 = -1. Отсюда находим координаты точки D: х =-2, y = 0.

Задача 7: Даны два вектора и , причем А(-1;2;4), В(-4;5;4), С(-1;-2;2), D (2;1;5).Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение: Найдем сначала координаты векторов. (-3;3;0) и (3;3;3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

* = (-3)*3 + 3*3 + 0*3 = 0.

Последнее означает, что

Задача 8: Доказать, что прямая проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Доказательство: Пусть ABCD - данная трапеция, М и N - середины оснований BC и AD, а O-точка пересечения прямых AB и CD (рис.8). Докажем, что точка О лежит на прямой MN.

Треугольник OAD и OBC подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому k. Так как и , то , . Точка М - середина отрезка ВС, поэтому . Аналогично .

Подставив в это выражение равенство для и , получим:

.

Отсюда следует, что векторы и коллинеарны, и, значит, точка О лежит на прямой MN.

Задача 9: Доказать что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство: Пусть MN - средняя линия трапеции ABCD (рис.9). Докажем, что MNAD и MN=.

По правилу многоугольника и Сложив эти равенства получим:

2

Но M и N- середины сторон AB и CD, поэтому = и =. Следовательно, 2, откуда ).

Так как векторы и сонаправлены, то векторы и также сонаправлены, а длина вектора ) равна AD+BC. Отсюда следует MNAD и MN=, что и требовалось доказать.