Векторное обоснование евклидовой геометрии-аксиоматика Вейля

5. Прямая

аксиоматика вейль векторный геометрия

Пусть Е - трехмерное аффинное пространство и V - его пространство переносов (dimV=3)/ Возьмем точку АE и вектор ,. Прямой назовем множество точек: d=.

Вектор называется направляющим вектором прямой d. Он может быть заменен любым ненулевым вектором, коллинеарным : , , где .

Точку А также можно заменить любой другой точкой этой прямой. Действительно, возьмем какую-нибудь точку В. Тогда / Рассмотрим прямую .

Для любой точки М : .

Обратно, для любой точки N: .

Следовательно,

Множество всех векторов представляет собой одномерное векторное пространство VV. Поэтому прямая d= одномерна. Сужение отображения удовлетворяет аксиомам I,II, и поэтому прямая d является одномерным аффинным пространством (в евклидовом пространстве - евклидовым) с пространством переносов V.

В пространстве E существуют точки, не лежащие на прямой d. Действительно, если векторы и линейно независимы, то точка NE / не лежит на прямой d.

Теорема 1. Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Доказательство: Пусть A,B E, A. Прямая d= проходит через точки A и B, ибо для , для : .

Пусть - какая-нибудь прямая, проходящая через точки А и В. Тогда можно записать: .

B и, где . Значит, / Теорема доказана.

Прямую, проходящую через две различные точки А и В, будем обозначать (АВ). Поэтому можно записать: (АВ)=.

Прямая d называется параллельной прямой l, если их направляющие векторы линейно зависимы (коллинеарны). Отсюда следует, что отношение параллельности () является отношением эквивалентности на множестве D всех прямых пространства Е. Элементы фактор - множества D/ называют связками параллельных прямых.

Точкой А и вектором (определенным с точностью до коллинеарного) определяется единственная прямая, проходящая через А и имеющая направляющим вектором. Отсюда следует, что через данную точку проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.

Теорема 2: Две параллельные прямые либо совпадают, либо не имеют общих точек.

Доказательство: Пусть две прямые параллельны. Тогда можно считать, что они имеют один и тот же направляющий вектор . Если эти прямые имеют общую точку А, то и та, и другая прямая есть множество точек , то есть эти прямые совпадают.

Прямые d=, и l= , где С, параллельны и d l. Они не имеют общих точек, ибо если бы у них была общая точка, то по доказанному выше d l, чего нет.