7. Аксиоматика Вейля и школьная геометрия

Наиболее сильной стороной теории Вейля является её алгебраизация. Это обеспечивает возможность в значительной мере алгоритмизировать доказательства теорем, поэтому открывает «царский путь» в изучение геометрии.

Однако при первоначальном изучении геометрии (особенно, стереометрии) указанное достоинство теории Вейля оборачивается её существенным недостатком: она не развивает пространственных представлений учащихся, не развивает их геометрической интуиции. Этот недостаток можно частично компенсировать возвращением к традиционным определениям и теоремам с последующим их использованием для построения теории.

Пример: Прямая перпендикулярная к плоскости, определяется «в духе Вейля» как такая прямая, пространство переносов которой является ортогональным дополнением к пространству переносов плоскости. Вместо этого можно принять традиционное определение, доказать обычный признак перпендикулярности прямой и плоскости и воспользоваться им, например, для доказательства теоремы о трех перпендикулярах.

Заметим, что именно так и сделано в школьном учебнике под редакцией З.А. Скопеца «Геометрия 9-10», хотя использование скалярного произведения позволяет доказать эту теорему, не опираясь на указанный признак.

Сильная алгебраизация вейлевской теории предъявляет повышенные требования к алгебраической и общелогической культуре учащихся. Однако в процессе обучения нужный уровень не достигается не только к началу систематического курса геометрии (6 класс), но и к началу изучения стереометрии (9 класс). Пожалуй, это является наиболее серьезным препятствием для внедрения векторного построения геометрии в школьное преподавание.

Принимая, кроме того, во внимание необходимость значительной пропедевтики аналитических методов в геометрии, мы приходим к выводу о возможности завершить школьное геометрическое образование ознакомлением с обоснованием геометрии по Вейлю. Предварительное изучение геометрии может в значительной мере исходить из интуитивно-наглядных представлений о простейших свойствах пространства, фиксируемых в качестве аксиом.

Всеобщее среднее образование создает благоприятные возможности для выведения общих, достаточно сложных и идейно глубоких вопросов школьной математики в завершающий концентр. На этом пути, мы надеемся, удастся совместить расширение и углубление школьной математики с её доступностью.

Однако в нашей стране и за рубежом не прекращается поиск такой аксиоматики евклидова пространства, на которой можно было бы построить начала систематического курса геометрии в форме доступной, для учащихся соответствующего возраста.

Отдавая должное векторному обоснованию геометрии как «царскому пути» в геометрию, видный французский математик Г.Шоке в своей книге пишет о том, что понятиями векторного пространства и скалярного произведения «нельзя овладеть штурмом, без всякой подготовки, особенно в том возрасте, когда у ученика ещё не совсем сформировалось понятие алгебраической операции». Поэтому нужна новая аксиоматика, позволяющая «так одеть сам по себе совершенный, но слишком абстрактный для ребенка логический каркас, чтобы он превратился в нечто знакомое и приветливое».

В своей книге Г.Шоке наиболее четко сформулировал требования к такой аксиоматике: «… Нам надо найти простую аксиоматику с аксиомами, которые были бы сильными, то есть позволяющими очень быстро вывести неочевидные теоремы, и интуитивно ясными, то есть представляющими свойства окружающего нас пространства в форме, которая допускает простую проверку».

Аксиоматика должна быть такой, «чтобы в этой системе было удобно выявить векторную структуру пространства».

В построении теории следует «отдать предпочтение методам, основанным на фундаментальных понятиях, выкристаллизовавшихся за двадцать веков развития математики: понятия множества, отношений эквивалентности и порядка, алгебраических законах, векторном пространстве, симметрии и геометрических преобразованиях».

Самому Г. Шоке не удалось разработать такую теорию даже при существенном изменении традиционного содержания школьного курса геометрии. В большей степени перечисленным требованиям удовлетворяет теория А.Н. Колмогорова, положенная в настоящее время в основу школьных учебников. Эта теория базируется на структуре метрического пространства.