6. Плоскость

Возьмем точку A E и неколлинеарные (линейно независимые) векторы V. Плоскостью назовем множество точек .

Линейная оболочка , натянутая на векторы представляет собой двумерное векторное пространство V.

Поэтому , и вместо векторов можно взять любой другой базис векторного пространства V.

Сужение отображения удовлетворяет аксиомам I,II, и поэтому плоскость является двумерным аффинным (в евклидовом - евклидовым) пространством с пространством переносов V.

Точку А можно заменить любой другой точкой плоскости . Действительно если В, то V. Так как , то V V.

В пространстве Е существуют точки, не лежащие на плоскости . Действительно, если векторы и линейно независимы, то точка N / = не лежит на плоскости .

Теорема 3: Через три точки, не принадлежащие одной прямой проходит одна и только одна плоскость.

Доказательство: Пусть A,B,C - точки, не лежащие на одной прямой. Тогда векторы и линейно независимы. Плоскость проходит через точки A,B,C, ибо для ==0: =; для =1, =0: =; для =0, =1: =.

Пусть - какая-нибудь плоскость, проходящая через точки A,B,C. Тогда можно записать:=.

Так как B,C, то , и образуют базис этого двумерного пространства. Следовательно =.

Плоскость, проходящую через точки A,B,C, не лежащие на одной прямой, будем обозначать (ABC):(ABC)=.

Теорема 4: Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.

Доказательство: Пусть и - две различные плоскости. V,- их пространства переносов, A, A. Тогда можно записать: =,=.

Так как , то V. Очевидно, что M V. Известно, что два различных двумерных пространства трехмерного векторного пространства V пересекаются по одномерному подпространству V Следовательно,= - прямая.

Плоскость называется параллельной плоскости , если эти плоскости имеют одно и тоже пространство переносов. Отсюда следует, что отношение параллельности является отношением эквивалентности на множестве Р всех плоскостей пространства E. Элементы фактор - множества P/ называются пучками параллельных плоскостей.

Можно доказать что две параллельные плоскости либо совпадают, либо не имеют общих точек. Верно и обратное предложение. Действительно, если , то по определению. Докажем, что = V.

Предположим, что V. Пусть (,)- базис векторного пространства V. Тогда / - линейно независимы и, значит, составляют базис трехмерного векторного пространства V. Если A, B , то V и . Тогда M = принадлежит . Так как =-то M. Следовательно, плоскости имеют общую точку M, что противоречит условию. Поэтому V и .

Доказанное необходимое и достаточное условие параллельности двух плоскостей можно было бы принять за определение параллельных плоскостей и доказать, в качестве признака, что две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их пространства переносов совпадают. Такой подход позволяет сделать несколько более наглядной сильно алгебраизированную теорию.

Теорема 5: Прямая, проходящая через де различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.

Доказательство: Пусть дана плоскость и A, B, A. Если V - пространство переносов плоскости , то V. Тогда можно записать: (AB)=, , где - линейно независимые векторы из V. Точки плоскости , для которых , , составляют прямую (AB). Следовательно, (AB).