3. Аксиоматика Вейля

Множество V называется (действительным) векторным пространством, а его элементы , , , … - векторами, если на нем заданы:

а)внутренний закон композиции (алгебраическая операция) f: VVV, который мs назовем сложение и обозначим f (,)=+ , обладающий свойствами:

1) + ) + = + + ) для любых трёх векторов , , ;

2) + = + для любых двух векторов , ;

3) Существует такой вектор что = для любого вектора (вектор называется нулевым вектором);

4) Для любого вектора найдется такой вектор , что += (вектор называется вектором, противоположным вектору , и обозначается через -);

б)Внешний закон композиции (внешняя алгебраическая операция),

h: RVV, который мы назовем умножение вектора на число и обозначим h()= (, обладающий свойствами:

5) 1= для любого вектора ;

6) () = () для любого вектора и любых (действительных) чисел

7) ( +)=+ для любого вектора и любых (действительных) чисел , .

8) + )= + для любых двух векторов , и любого действительного числа .

Свойства 1)-8) законов сложения и умножения на число называются аксиомами векторного пространства. Векторное пространство называется также линейным пространством.

Заметим, что в определении структуры векторного пространства числа выступают в роли операторов, действующих в V по закону: )=.

Векторы ,,…, называются линейно независимыми, если равенство

= выполняется только в том случае, когда все числа Если же указанное равенство выполняется в том случае, когда некоторые из отличны от нуля, то векторы ,,…, называются линейно независимыми.

Векторное пространство V называют n-мерным и пишут dimV=n, если в V существуют n линейно независимых векторов и всякие n+1 векторов из М линейно зависимы. Эти условия составляют аксиому размерности векторного пространства V. Если dimV=n, то любые n линейно независимых векторов ,,…, из V составляют базис этого векторного пространства. Из аксиомы размерности следует, что всякий вектор разлагается и притом однозначно по векторам базиса: =++…+ ()/ Числа называются координатами вектора относительно базиса ,,…,.

Евклидовым векторным пространством называется векторное пространство V, на котором определено отображение g: VVR, которое мы назовем скалярным умножением векторов и обозначим g()=, обладающее свойствами:

9)= для любых двух векторов и

10) + )=+ для любых трёх векторов , , и любых (действительных) чисел , ;

11)0 для любого вектора ,.

Число называют скалярным произведением векторов , а число - скалярным квадратом вектора и обозначают .

Аксиомы 1)-4) векторного пространства определяют на множестве V структура абелевой группы. Введение нового отношения (умножения вектора на число) придает абелевой группе новые свойства: появляется возможность говорить о линейно зависимых и линейно независимых векторах, о линейной оболочке системы векторов, о размерности векторного пространства и др. Поэтому говорят, что векторное пространство получено обогащением структуры абелевой группы. В свою очередь, евклидово векторное пространство получено обогащением структуры векторного пространства: в нем введено новое отношение- скалярное умножение, позволяющее говорить о длине вектора , об ортогональности векторов (=0) и др.

Отображение g: VVR, обладающее свойствами 9)-11), является симметрической билинейной положительной формой, определенной на векторном пространстве V. Она определяет положительную квадратичную форму по закону , для .

Обратно, по квадратичной форме ,заданной на V, можно восстановить билинейную форму по формуле

=()--).

Значит, векторное пространство М можно превратить в евклидово векторное пространство, задав на М положительно определенную (симметрическую) квадратичную форму.