§1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА

Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая L = АВ длины l. Рассмотрим непрерывную функцию f (x; y), определенную в точках дуги L. Разобьем кривую L последовательными точками

А₀=А, А₁, А₂, . . . , А_n=В на n дуг

₁= А₀А₁,₂= А₁А₂, . . . ,_n= А_n-1А_n.

На дуге _i выберем произвольную точку М_i (t_i ; s_i) (i = 1,2, . . . , n) (рис. 1). Обозначим l_i длину дуги _i , а

Составим интегральную сумму функции f (x,y) по кривой L:

Определение. Предел , если он существует, называется криволинейным интегралом I рода от функции f (x; y) по кривой L и обозначается

В случае замкнутой кривой L криволинейный интеграл I рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Основные свойства криволинейного интеграла I рода:

т.е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.

7? Если функция f(x; y) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой найдется точка (x_c; y_c):

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями:

x = x (t), y=y (t), ? t ?, где x (t), y (t) непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [, ] функции. Тогда

Пусть кривая L задана явно уравнением:

Пусть кривая L задана в полярных координатах:

Геометрические приложения

v Длина кривой АВ вычисляется по формуле

v Площадь цилиндрической поверхности z=f(x; y)с направляющей АВ и образующей, параллельной Oz, находится

v Масса материальной кривой АВ определяется формулой

v Статистические моменты и координаты центра тяжести кривой АВ определяются по формулам

v Для кривой АВ моменты инерции относительно осей Ox, Oy и начала координат равны: