§3. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ЦИРКУЛЯЦИЯ

Одной из характеристик стационарного векторного поля служат векторные линии.

Векторной называется линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением векторного поля в данной точке.

Пусть задано векторное поле

тогда вектор

коллинеарен вектору поля т. е.

Следовательно, уравнение векторных линий поля можно получить, решив систему дифференциальных уравнений:

Найдем работу, которая совершается при перемещении материальной точки М из точки А в точку В вдоль некоторого гладкого контура L под действием непрерывного силового поля (рис. 10). 

Контур L разбиваем на n элементарных дуг точками

А = М₀, М₁, ..., М_i-1, М_i, ..., М_n = В.

Если элементарные дуги достаточно малы, то в силу непрерывности можно считать, что на каждой элементарной дуге сила является постоянной и равна своему значению в некоторой точке N_i,

При этих предположениях элементарная работа ДA_i, совершаемая при передвижении материальной точки вдоль дуги М_{i - 1} М_i, приближённо равна скалярному произведению

Следовательно, вся работа вдоль контура L приближённо выражается суммой

Обозначим через л длину наибольшей из хорд Тогда

Т. е. мы пришли к криволинейному интегралу второго рода, который в координатной форме имеет вид:

и который называют линейным интегралом вектора _{(x; y; z)} вдоль линии L.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L называют циркуляцией векторного поля по контуру L и обозначают:

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Т.к.

где - проекция вектора на касательную ф, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство можно записать в виде:

или

Это выражение имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция - это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль L.

Вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, т.к. в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак: «+» - если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; «-» - в противном случае.