Элементы векторного анализа

курсовая работа

§3. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ЦИРКУЛЯЦИЯ

Одной из характеристик стационарного векторного поля служат векторные линии.

Векторной называется линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением векторного поля в данной точке.

Пусть задано векторное поле

тогда вектор

коллинеарен вектору поля т. е.


Следовательно, уравнение векторных линий поля можно получить, решив систему дифференциальных уравнений:

Найдем работу, которая совершается при перемещении материальной точки М из точки А в точку В вдоль некоторого гладкого контура L под действием непрерывного силового поля (рис. 10). 

Контур L разбиваем на n элементарных дуг точками

А = М0, М1, ..., Мi-1, Мi, ..., Мn = В.

Если элементарные дуги достаточно малы, то в силу непрерывности можно считать, что на каждой элементарной дуге сила является постоянной и равна своему значению в некоторой точке Ni,

При этих предположениях элементарная работа ДAi, совершаемая при передвижении материальной точки вдоль дуги Мi - 1 Мi, приближённо равна скалярному произведению

Следовательно, вся работа вдоль контура L приближённо выражается суммой


Обозначим через л длину наибольшей из хорд Тогда

Т. е. мы пришли к криволинейному интегралу второго рода, который в координатной форме имеет вид:

и который называют линейным интегралом вектора (x; y; z) вдоль линии L.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L называют циркуляцией векторного поля по контуру L и обозначают:

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Т.к.

где - проекция вектора на касательную ф, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство можно записать в виде:

или

Это выражение имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция - это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль L.

Вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, т.к. в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак: «+» - если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; «-» - в противном случае.

Делись добром ;)