§3. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА

Пусть S - поверхность в трёхмерном пространстве Oxyz, а f(x; y; z) - непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ДS₁, ДS₂, ...., ДS_i, ..., ДS_n, не имеющих общих внутренних точек (рис. 3). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквами S_i (i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков - через л На каждом "элементарном" участке ДS_i произвольным образом выберем по точке M_i(x_i; y_i; z_i) (i = 1,...,n) и составим интегральную сумму:

Определение. Если существует конечный предел

не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ДS_i и от выбора точек M_iДS_i (i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом I рода от функции поверхности S и обозначается

Если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x; y; z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует (теорема существования).

Основные свойства криволинейного интеграла I рода:

7? Если непрерывна на поверхности , то на этой поверхности существует точка (теорема о среднем значении):

Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам.

Пусть выполнены условия теоремы существования, тогда, обозначив проекцию ДS_i (и площадь проекции) на плоскость Oxy через Дф_i, по теореме о среднем значении будем иметь:

где (x_i, y_i) Дф_i, а, следовательно

при данном специфическом выборе точек M_i. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции

по плоской области ф. Переходя к пределу, получаем:

Если проектировать поверхность S не на координатную плоскость Oxy, а на координатную плоскость Oxz или Oyz, то можно записать формулы для вычисления поверхностного интеграла аналогично формуле (3.5):

и

Геометрические приложения

v Площадь поверхности, заданной уравнением z=z(x; y):

v Масса поверхности S:

где - плотность распределения массы.

v Моменты, центр тяжести поверхности: