§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Теория поля - крупный раздел, физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U=U(M), говорят, что в области определено, задано скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле - это скалярная функция U(M) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры, атмосферного давления, плотности, электрического потенциала и т.д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т.д.

Если функция U(M) () не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным; поле, которое меняется с течением времени называется нестационарным.

Далее будем рассматривать только стационарные поля.

Если V - область трехмерного пространства, то скалярное поле U можно рассматривать как функцию трех переменных x, y, z (координат точки M):

Наряду с обозначениями U=U(M), U=U(x; y; z), используют запись U=U(, где радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U(M) зависит только от двух переменных, например x и y, соответствующее скалярное поле U(x; y) называют плоским.

Аналогично: вектор можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов x, y и z: или . Вектор можно представить в виде

где P(x; y; z), Q(x; y; z), R(x; y; z) - проекции вектора на оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора равна 0, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским.

Векторное поле называется однородным, если - постоянный вектор (P, Q, R - постоянные величины).

В дальнейшем будем полагать, что скалярные функции: U(x; y; z) - определяющая скалярное поле, P(x; y; z), Q(x; y; z), R(x; y; z) - задающее векторное поле, непрерывны вместе со своими частными производными.