Градиент скалярного поля

Пусть задано скалярное поле U = f(x; y; z). Градиентом скалярного поля U = f(x; y; z) в точке M(x; y; z) называют вектор

Если функция U = f(x; y; z) имеет частные производные U_x, U_y, U_z в каждой точке некоторой области, то скалярное поле порождает в этой области векторное поле . Преобразуем формулу для вычисления производной по направлению:

Угол между векторами и обозначим через ц, тогда скалярное произведение равно но Значит:

т.е. производная скалярной функции U = f(x; y; z) в точке M в направлении вектора равна проекции на направление вектора

Из формулы () следует, что, когда направление вектора совпадает с направлением вектора , производная по направлению имеет своё наибольшее значение, т. е. вектор , вычисленный в точке М, показывает направление наибольшего возрастания скалярного поля, и скорость его возрастания равна

В направлении, перпендикулярном направлению , как это следует из формулы (), , т. е. в этом направлении из точки М поле не меняется.

Вспомним, что, если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0, нормаль к поверхности в точке M₀(x₀,y₀,z₀) может быть задана уравнением:

Теперь для скалярной функции U = f(x, y, z) построим поверхности уровня f(x, y, z) = C, тогда уравнение нормали к поверхности уровня в точке M₀(x₀, y₀, z₀) запишется:

т.е. имеет направляющий вектор

Следовательно, вектор есть вектор, перпендикулярный поверхности уровня функции U = f(x, y, z).

Свойства градиента функции:

1? Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.