Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме

Пусть задано векторное поле

Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством:

На этот раз векторное поле порождает скалярное поле .

С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградского-Гаусса можно представить в форме:

т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

На основании формулы () можно записать:

и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V > 0 ), имеем:

То есть есть предел отношения потока поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.

Если поток

то в область V втекает большее количество жидкости, чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.

Если П<0, то внутри области V есть стоки. Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т.е. при П ? 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки.

Для характеристики точки можно использовать.

Если, то данная точка есть источник, если - то сток.

Заметим, что можно записать с помощью символического вектора Гамильтона

в следующем виде:

Свойства дивергенции:

1? Если - постоянный вектор, то

4? , U - скалярная функция.