§4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция равна нулю, т.е. Примерами соленоидальных полей являются: поле скоростей вращающегося твердого тела; магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и т.д.

Векторное поле называется безвихревым, если его ротор тождественно равен нулю в области определения поля:

Векторное поле называется потенциальным, если оно является полем градиентов некоторой скалярной функции ц(M), т. е. В этом случае функция ц(M) называется потенциалом поля.

Имеет место важное утверждение.

Теорема

Если векторное поле непрерывно дифференцируемо в замкнутой односвязной области V, то каждое из следующих четырёх предложений равносильно любому другому из них:

ь  -  потенциальное поле;

ь  -  безвихревое поле;

ь циркуляция поля по любому замкнутому контуру, лежащему внутри области V, равна нулю;

ь криволинейный интеграл

не зависит от формы пути интегрирования.

Если ц(М) - потенциал поля , то потенциалом этого поля, как легко видеть, будет и любая другая функция вида ш(М) = ц(М) + const.

Любой потенциал ц(М) поля очевидно, можно представить в виде:

Отметим важное свойство указанных выше специальных векторных полей.

Теорема

Произвольное векторное поле всегда может быть представлено в виде суммы потенциального поля и соленоидального поля , т.е. .

Заметим, что для соленоидального поля можно определить векторный потенциал поля.