§ 7. Разбиение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа

Умножение подмножеств группы. H₁H₂. Ha. aH.

Теорема 1. Свойства умножения подмножеств.

1°. Умножение подмножеств ассоциативно.

2°. Если H – подгруппа группы G, то Ha = H тогда и только тогда, когда aÎH.

3°. Если H – подгруппа группы G, то отображение r_а: H ® Ha по правилу

h ha является биекцией. В частности, если H – конечная подгруппа, то = .

Отношение r_H правой смежности: ar_Hb Û Ha = Hb.

Теорема 2. Свойства отношения правой смежности.

1°. Отношение r_H является отношением эквивалентности.

2°. Если K_a – класс эквивалентности, порождённый элементом a, то K_a = Ha.

Теорема 3. Теорема Лагранжа.

Порядок конечной группы делится на порядок любой её подгруппы.

Теорема 4. Если G – конечная циклическая группа порядка n и d произвольный делитель числа n , то существует подгруппа H группы G порядка d.