§ 6. Кольцо многочленов над полем

Теорема 1. Группа обратимых элементов кольца Р[x] есть P^*.

Теорема 2. Для любых двух многочленов f и g ¹ 0 существует, причём единственная, пара многочленов h и r, удовлетворяющая условиям:

1) f = gh+r;

2) r = 0Údeg r < deg g.

НОД многочленов.

Теорема 3. Единственность НОД.

Любые два НОД системы многочленов совпадают, с точностью до скаляра, если они существуют.

(f, g).

Алгоритм Евклида.

Теорема 4. Существование НОД двух многочленов.

Для любых двух многочленов, не равных нулю одновременно, их НОД существует. Он равен последнему, отличному от нуля, остатку алгоритма Евклида для этих двух многочленов.

Следствие 1. Свойства НОД.

1. С точностью до скаляра, (f h, g h) = (f, g)h.

2. Если t – ОД (f, g), то, с точностью до скаляра, .

3. Если d = (f, g), то 1.

4. Если d = (f, g), то существуют многочлены u, v такие, что uf+vg = d.

5. Наибольший по степени общий делитель многочленов f и g является их НОД.

Теорема 5. Если многочлен h, кратный d = (f, g), удовлетворяет условию

deg h < deg f + deg g,

то существуют такие многочлены u, v, что

h = uf+vg,

причём

deg u < deg g, deg v < deg f.

Метод неопределённых коэффициентов для выражения НОД.

Теорема 6. Цепное правило.

НОД нескольких многочленов f₁, f₂, ..., f_n существует. Он вычисляется по правилу (( ... ((f₁, f₂), f₃), ..., f_n–1), f_n).

Следствие 2. Свойства НОД 1–5 двух многочленов справедливы для любого конечного количества многочленов.

Взаимно простые многочлены

Теорема 7. Критерий взаимной простоты.

Многочлены f и g взаимно простые тогда и только тогда, когда существуют многочлены u и v такие, что uf+vg = 1.

Теорема 8. Свойства взаимно простых многочленов.

1. (f, h) = (g, h) = 1  (f g, h) = 1.

2. f g h ( f, h) = 1  g h.

3. f g  f h ( g, h) = 1  f g h.

Обобщение результатов теорем 1 и 2 на случай n многочленов.

НОК многочленов

ОК и НОК системы многочленов.

Теорема 9. Единственность НОК.

Любые два НОК системы многочленов совпадают, с точностью до скаляра, если они существуют.

[f ₁, f ₂, ..., f _n].

Теорема 10. Существование НОК двух многочленов.

Для любых двух многочленов f и g, не равных нулю одновременно, их НОК существует. Он равен .

Следствие 3. Свойства НОК двух многочленов.

1. С точностью до скаляра, [f h, g h] = [f, g]h.

2. Если t – ОД(f, g), то, с точностью до скаляра, = .

3. Наименьшее по степени общее кратное многочленов f и g является их НОК.

Теорема 11. Цепное правило.

НОК нескольких многочленов f₁, f₂, ..., f_n существует. Оно вычисляется по правилу [[... [[f₁, f₂], f₃], ..., f_n–1], f_n].

Следствие 4. Свойства НОК 1–3 двух многочленов справедливы для любого конечного количества многочленов.