3 Ядро гомоморфизма

Рассмотрим элементы группы G, которые гомоморфизм  отображает в единичный элемент группы(рис. 4).

Определение. Ядром гомоморфизма называется множество

Рис. 4 – Ядро гомоморфизма

Лемма. Ядро гомоморфизма является подгруппой в G.

. Ядро линейного оператора. Пусть и– арифметические линейные пространства векторов размерности n и m.

Определение. Множество элементов векторов столбцовили строкназывается линейным пространством, если в нем определены две операции:

• cложение .

• умножение на скаляр .

Кроме того, для любых выполняются следующие аксиомы:

• ассоциативность операции сложения ;

• коммутативность операции сложения ;

• существование единичного или нейтрального элемента

• существование обратного (противоположного) элемента .

Таким образом, в линейном пространстве выполняются аксиомы группы, следовательно- это аддитивная абелева группа векторов столбцов размерности n.

Рассмотрим две абелевы группы ии отображение

.

Отображение А представляет собой матрицу размерности m на n, т.е.

Определение. Отображение называетсялинейным оператором, если выполняются следующие условия:

где .

Таким образом, линейный оператор есть гомоморфизм аддитивных групп линейных векторных пространств в.

Определение. Ядром линейного оператора называется множество

.

Таким образом, ядро линейного оператора – это множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с матрицей A.

Утверждение. Ядром линейного оператора есть подпространство в, называемое пространством решений однородной системы линейных уравнений:

.