Системы образующих

Определение. Подгруппа , определяемая в виде (10), называетсяминимальной подгруппой, содержащей множество S.

Пример 1. Пусть G – аддитивная группа целых чисел, т.е. . Необходимо найти минимальную подгруппугруппы G, порожденную множеством S, если:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Решение. 1. Если S={2}, то ;

2.Если S={4, 6}, то .

Ясно, что все элементы подгруппы четные т.к. общий элементэтой подгруппы можно представить в виде четного числа.

Естественно, возникает вопрос, все ли четные числа содержатся в данной подгруппе?

Для ответа на этот вопрос необходимо проверить, принадлежит ли число два этой подгруппе. Если число два принадлежит подгруппе , то и все его степени (т.е. четные числа) принадлежат этой подгруппе.

.

Пусть

Тогда имеем ,

следовательно, и подгруппабудет содержать все элементы, порожденные числом два, т.е. все четные числа.

3.Если S={0}, тогда

4.Если S={1}, то

5.Если S={–1}, то