Операции на перестановках.

На множестве всех перестановок можно задать операцию, называемую умножением такую, что. Эту операцию определим в соответствии с общим правилом композиции отображений:

Определение. Перестановка называется обратной к перестановке, если .

Определим алгоритм получения обратной перестановки.

.

Порядок группы S_n. 

Разложение перестановок, циклы, транспозиции

Определение. Длиной цикла называется количество входящих в него элементов

Теорема. Каждая перестановка может быть представлена в виде произведениянезависимых циклов длины. Это разложение определено однозначно с точностью до порядка следования циклов.

.

Теорема 2. Порядок перестановки (порядок циклической подгруппы)равен наименьшему общему кратному (НОК) длин независимых циклов, входящих в разложение .

Теорема. Пусть  – перестановка из , а

.

какое-либо разложение  в произведении транспозиций. Тогда число

называется четностью (сигнатурой или знаком) перестановки  и полностью определяется , т.е. не зависит от способа разложения перестановки  в произведение траспозиций. Кроме того, если , то

.

Определение. Перестановка называется четной, если , и нечетной, если .

Следствие 2. Пусть перестановка разложена в произведение независимых циклов длин , где,, …,, …,– днины независимых циклов.

Тогда

.